摘要: 自然界中物体之间的相互作用通常是非简谐的，许多现象也无法用线性理论来解释，一般的线性相关的理论只适用于小运动方面，这就使我们研究非线性振动。本文利用龙格库塔方法数值求解牛顿第二定律微分方程方法系统研究了非谐相互作用对于振动性质的影响，我们发现当存在弱三阶非谐相互作用时，物体的振幅表现出非对称性，另外物体振动的周期随着三阶非谐项的增强而逐渐增大，并且存在着一临界值，物体的运动从周期性往复运动变成非周期性单向的运动。而当四阶非谐项存在时，物体总是做周期性振动，但是随着势能中四阶项变大时，物体的周期迅速减小，并且在相空间的运动轨迹将发生显著改变。71475

毕业论文关键词: 简谐振动，非线性晶格，非谐振动，谐振子。

Abstract: Interaction between materials is normal nonlinear. Nonlinear interaction leads to many intermeeting dynamic phenomena which can not be well explained by linear theory.There are some phenomena which can not be explained by linear theory. Generally, linear theory is only applicable to motions very close to equilibrium. Therefore, it is essential for us to investigate vi-bration properties of materials in the presence of nonliear interaction. In this study, we carefully studied the dynamic properties of anharmonic oscillator including cubic and fourth order nonlin-ear interaction by using Runge-Kutta method to numerically solve Newton's equation of motion.

Keywords: simple harmonic oscillation，Nonlinear lattice，Anharmonic oscillation，Harmonic oscillator 

目录

1 引言 4

1.1振动现象 4

1.2简谐振动 4

1.3非线性现象 5

1.4几个典型的非线性晶格 5

2 数值计算方法 7

2.1 龙格库塔算法 7

2.2 龙格库塔Matlab程序 8

3 非谐弹簧振子振动 11

3.1 理论模型 11

3.2 三阶非谐振子 11

3.3 四阶非谐振子 14

结 论 16

参考文献 17

致 谢 18

1 引言

1.1振动现象

振动是自然界中最常见的运动形式之一。从狭义上说，通常把具有时间周期性的运动称为振动，但从更广泛的意义上说，任何复杂的非周期性运动，也属于振动的研究范围，因为这种运动可以分解为频率连续分布的无限多个简谐振动的叠加。振动也不仅限于机械运动中的振动过程，分子热运动，电磁运动，晶体中原子的运动等虽然属于不同的运动形式，各自遵循不同的运动规律，但是，就其中的振动过程来说，具有共同的物理特征[1]。

1.2简谐振动

当物体在运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位移）按余弦函数（或正弦函数）的规律随时间变化，这种运动称为简谐振动，简称谐振动。在忽略阻力的情况下，弹簧振子的小幅度振动都是简谐振动。简谐振动是一种最简单和最基本的振动，一切复杂的振动都可以看作是由若干个简谐振动合成的结果[1]。文献综述

1.2.1 简谐振动的运动方程

从弹簧振子的振动性质可知，如果物体受到力的大小总是与物体对其平衡位置的位移成正比，但方向相反的话，那该物体的运动就是简谐振动。这种性质的力称为线性回复力。这也是物体作简谐振动的动力学特征。简谐振动的运动方程的微分形式如下[1]