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波尔共振仪的改进研究与制作(4)
(2-2)
式(2-2)中 为初始振幅,即手摆动摆轮所达到的振幅值, 为系统固有圆频率。由于空气阻尼的不可避免性,摆轮会在阻尼的作用下慢慢地停止,波尔共振仪也只记录50°-150°的幅值间的固有周期。若考虑空气阻尼,则式(2-1)应加上一个空气阻尼项,即 ,式(2-1)变为:
(2-3)
令 ,其中 为空气阻尼和轴承摩擦等造成的阻尼系数,式(2-3)变为:
(2-4)
用
数学
软件
可以画出式(2-4)的函数图象(理想状况),自由振荡的振幅随着时间呈指数级减少,如下图2-1:
由于空气阻尼系数较小时,所以振荡的次数会更多,即在一次次的振荡中振幅逐渐减小。仿制空气阻尼情况下摆轮的自由振荡图像如下图2-2。
理论情况下,在自由振荡中,每一次的振荡都可以看成简谐运动,即式(2-2)。然而由于阻尼因素以及弹簧等方面的影响,固有周期会因为振幅的变化而略微改变。波尔共振仪运用摆轮和光电门等来测量所需物理量,运用计数器计算通过光电门的短凹槽的个数来计算得到振幅值,运用计时器计算长凹槽两次通过光电门的时间来计算固有周期值。由于本实验中实验仪器采用石英晶体作为计时部件,所以测量周期的误差可以忽略不计。那么在自由振荡这一环节实验所得结果的差异性应该主要是由摆轮,涡旋弹簧以及装置框架结构的差异所造成。所以通过分析自由振荡实验中阻尼系数的差异来寻求仪器上的差异。
运用数据处理工具[11]对四组仪器的自由振荡的周期-振幅值进行比较,见下图2-3:
从上图2-3的数据图表分析中可以得出以下一些结论:
1、所抽取四台仪器的固有周期并不具有一致性,不同仪器间的固有周期变化范围约为10%,仪器在多年使用后具有明显差异,由(*)式可知应是涡旋弹簧上有所差异,也有可能是弹簧安装和校零不完善的问题;
2、周期随振幅的变化趋势也不尽相同,除53号仪器外,另外三台仪器固有周期较为稳定,而且随着振幅的减小而增大;
3、53号仪器的固有周期随着振幅的变化趋势较为明显,虽然变化范围只有1%,但较其他仪器已有明显差别,而且固有周期是随着振幅的减小而减小的;
4、波尔共振仪记录固有周期时并不是连续记录,02号仪器在振幅90°-50°间的固有周期记录中有明显缺失,不排除仪器的光电门和计数电路等出现问题;
5、由于各仪器间摆轮的转动惯量相对统一,经分析固有周期的差异主用由涡旋弹簧的材质,安装时垂直与否以及弹簧长度的改变引起,主要就是劲度系数的影响。
现在分析一下所抽取的四台波尔共振仪的自由振荡情况,考察一下时间-振幅的数值图象与式(2-4)的拟合程度,以及自由振荡时阻尼作用是否一致。
对振幅-固有周期的数据进行处理,即假设认为仪器对振幅值是连续记录的,那么时间值就可以通过周期值的累加来进行表示。经整理可得下图2-4:
由于振幅值的记录有缺失以及其他情况的存在,所以导致时间-衰减振幅的数值图像与指数函数有一定差异,不过与式(2-4)大致符合。从上图可以看出,四台仪器所受到的阻尼影响是不同的,然而由于四台仪器在同样的环境中进行实验,与其说空气阻尼的影响,不如说涡旋弹簧的设置以及轴承摩擦有更大的影响。从上图数据倾斜趋势可以大致看出,阻尼系数的大小关系:53号<02号<06号<03号(#)。由于仪器的校验调整以及多年使用的磨损,仪器间的差异性是可以理解的。
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