1。2。2 数值模拟一般的求解过程

在解决现实问题时，如果采用数值模拟方法，其过程和步骤大致相似，图 1-1 展现了在进行数值模拟时的一般过程和每个环节应该注意的一些原则。

一般情况下，在作出假设之前，需要对所研究的物理现象进行细致的观察， 然后再根据假设应用初始的条件或者边界条件建立所需要的数学模型。控制方程 可以是一系列偏微分方程（PDE）或者是常微分方程（ODE），也有可能是其他 物理量决定的一些方程形式。在空间和时间上的场变量必须由初始条件或者边界 条件决定，有时两者可以同时发挥作用。必须在将问题的几何结构或者几何区域 进行空间离散化的基础上才能对控制方程进行求解。控制方程的导数或者积分运 算的连续形式需要转变为离散化模式，这样就需要一种合理的数值方法，数值离 散化方法就满足其使用要求。同时，控制方程的离散化与区域离散化所选用的方 法有很大的关系。

图 1-1 数值模拟的过程

1。3 基于网格方法和无网格方法

数值模拟方法可以分为两种：一种需要划分网格进行模拟，称为基于网格的 方法；另一种不需要划分网格 ，称为无网格方法[6]。从基于网格方法到无网格 方法，顺应了时代发展的潮流，满足了时代发展的需要，同时也是数值模拟打破 自身局限，取得新的进步的重要体现。

1。3。1 基于网格方法

一般情况下都是利用拉格朗日（Lagrange）方法和欧拉（Euler）方法来描述 物理控制方程。前者描述的对象主要是物质的点，例如有限元法（FEM）。后者 描述的对象主要是问题域或者空间，例如有限差分法（FDM）。在研究流体力 学问题时，如果忽略粘性、外力和热传导等问题，则用偏微分方程的形式表示欧 拉方法和拉格朗日方法下时，其守恒方程会存在很大的差别。见下表 1-1。

表 1-1 欧拉描述法和拉格朗日描述法下的偏微分方程形式的守恒方程

守恒 拉格朗日描述 欧拉描述

在表 1-1 中， , e, v 和 x 分别表示密度、内能、速度和位移矢量。上标α和β 分别代表坐标轴的 X 和 Y 方向。

欧拉法和拉格朗日法所划分的区域离散化网格是不同的，欧拉法划分的称为

欧拉网格，拉格朗日法划分的称为拉格朗日网格。两种网格划分方法都被大量的 应用在试验当中，根据具体情况选取符合要求的网格，具体可依据如下描述：

拉格朗日网格 拉格朗日数值方法的网格是划分在所描述的物质上的，且在整个实验进程当

中，网格会随着物质的运动而发生相应的变化，但其会一直依附在物质之上，如 图 1-2 所示：

图 1-2 拉格朗日网格

网格的节点也是被定格在物质之上，它会因为物质发生运动而做出相应的改 变，因此节点运动之后，由节点所区分的网格会发生形状上的改变，如膨胀或者

压缩。单元网格的运动会传递物质的动量、能量和质量。但是每一个网格的质量 是相对固定的，所以即使发生网格的变形，质量也不会穿过网格，只会随网格的 变形而发生移动。

拉格朗日方法划分的网格具有以下优点：

（1）迁移项的处理在程序运行当中会占很大的资源，但是拉格朗日方法的方 程中没有迁移项的存在，因此程序运行的速度相对较快。

（2）场变量的变化是和网格的移动有关，而网格节点在划分的时候就被固定 在了所研究的物体上，因此在追踪场变量的变化情况时，只要确定相关的节点和 网格就能轻易的确定场变量的变化情况。