以动量方程为例： 根据连续介质力学中的第二定律，我们可以根据动量定理导出运动方程。牛

顿第二定律指出，作用在拉格朗日流体单元上的力=质量×加速度。

流体微团上 x 方向的位移矢量 x, y, z，而其在三个方向上的加速度分为

dvy  , dvz  。作用在流体微团上的力可以分为两种，分别是体力和面力。其中

体力可以分为磁力、重力和其他一些作用于流体微团体内的力。而面力则可以分 为以下两部分：

（1）作用在流体微团表面上的力；

（2）导致切=剪切变形的剪切力和体积变形的正应力。 作用在流体上的力沿 X 轴方向的分量为：

式中：p 表示压力；ij 表示沿着 j 轴方向作用在以 i 轴为垂线的平面上的应 力。如果沿着 x 轴方向单位质量上的力为 Fx ，则牛顿第二定律公式 可写成：

由式 2-2 可以得到在 x 方向上的动量方程：

类似 x 方向的动量方程推导方式，我们可以得到在 y 方向和 z 方向的动量方 程：

 

其中ij    ij ，即在牛顿流体中，应力与应变率成正比，比例系数 为动



力粘度系数。应变率表达式为： v j

质量守恒方程可以根据质量守恒定律推导而来，结果如下：

质量守恒方程：

考虑到速度散度公式表达式v  1

d V  ，因此质量守恒方程改写成以下

应用能量守恒定律得到能量守恒方程：

2。2 SPH 的基本方程

构建 SPH 基本方程的过程分为两步：第一步是将核函数近似，即积分表示 法；第二部是粒子近似[10]。

2。2。1 函数的积分表示法文献综述

在 SPH 方法中，函数 f 的积分表示的概念是由式 2-9 决定的：

    

f x f xx xdx。 （2-9）



 

其中：f 为三维坐标向量 x 的函数；x x



是狄拉克函数，性质如下：



在公式 2-9 中， 为包含 x 在内的积分体积，这个公式表示函数用积分形 式表示是事实可行的。因为式中包含的狄拉克函数，如果在 中 f 是连续

的且是已经定义号的，那么式 2-9 所用的积分表示形式就是严密的或者是精确 的。

   

如果用光滑函数W x x, h代替式 2-9 中的x x核函数，那么式 2-9 又

可以改写为：

    

f x f xW x x, hdx。 （2-11）



但是，在 SPH 的一般用法中，核近似算子通常用角括号 标记，因此式 2-4

可改写成 SPH 的习惯表达形式：

应当注意的是，在式 2-12 中使用了等于号，而非原来的约等于号。因此，

式 2-12 可以称作为核函数近似的标准表达形式。 对于式中的光滑函数，一般将其设定为偶函数，除此之外，还应该满足以下