数，输入和输出只会在相位和幅值上有所不同。但是当非线性系统的输入信号是正弦函数的 时候，它的输出就是含有高阶次谐波的非正弦周期函数，也就是它的输出会有倍频、分频和 频率侵占等现象。

4）复杂的非线性系统在一定的条件下还可能会有突变、分岔和混沌等现象。

1。3 典型的非线性特性

继电特性、死区特性、饱和特性和摩擦特性都是在实际系统中很常见的几种非线性特性。 在大多数情况下，可以将非线性系统表示成在线性系统的某一些环节的输入或者输出端加上 非线性环节。所以，非线性的环节会影响线性系统的运动。

在文献[3]中可以找到以下几种常见的非线性特性。

1。3。1 继电特性 继电器和可控硅这些电气元件的特性往往都会表现为继电特性。 继电特性的输入输出曲线如图 1。1 所示

图 1。1 继电特性

继电特性经常会使系统产生振荡的现象。

1。3。2 死区特性

测量元件、放大元件和执行机构的不灵敏区可能造成死区特性，死区特性的输入输出曲 线图如图 1。2 所示。

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图 1。2 死区特性

死区特性最主要的影响就是会让系统产生稳态误差。当系统的输入信号为速度信号的时 候，受到死区的影响，在| r c |Δ 时，系统没有调节作用，因此会导致系统的输出在时间上 的滞后，降低了系统的跟踪精度。另一方面，当系统的输入端存在较小的扰动信号时，在系 统的动态过程的稳态值附近，死区的作用会减少扰动信号的影响。

1。3。3 饱和特性

饱和现象往往是由放大器和执行机构受电源电压或者功率的限制所导致的，饱和特性的 输入输出曲线图如图 1。3 所示。

图 1。3 饱和特性

饱和特性的存在会使系统的开环增益在饱和区的时候下降。在设计控制系统时，为了能 够使功能元件得到充分的利用，应该尽量使功放级首先进入饱和；为了能够获得比较好的动 态性能，应该通过选择合适的线性区增益和饱和电压，使系统既能获得比较小的超调量，又 能保证较大的开环增益，减小稳态误差。文献综述

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2 相平面法的 MATLAB 实现

2。1 相平面法

2。1。1 相平面法的提出

相平面法是由庞加莱在 1885 年首先提出。利用图解法将一阶和二阶系统的运动过程转化 为位置和速度平面上的相轨迹，可以比较直观、准确地反映出系统的稳定性、平衡状态和稳 态精度以及初始条件及参数对系统运动的影响。相轨迹的绘制的步骤简单、计算量也较小， 比较适用于分析常见的非线性特性和一阶、二阶线形环节组合而成的非线性系统[4]。

2。1。2 相轨迹描绘方法

常用的相轨迹绘制方法为等倾线法，这种方法不需要求解微分方程，所以计算量较小。 等倾线法的基本思想是：先要确定相轨迹的等倾线，然后就可以画出相轨迹的切线方向场， 再从初始点位置出发，进而描绘出相轨迹图。

2。1。3 相平面法判断系统极限环的稳定性

稳定的极限环：当 t 时，起始于极限环内部和外部的相轨迹都卷向极限环，那么极 限环是稳定的。