函数最值问题在函数这一数学领域内扮演着一个很特别的角色,它能被运用在很多不同的实例中,例如生产调配、金融投资和经济核算。正是由于函数最值问题能够解决的问题多种多样,所以这类问题的综合性非常高,解题的思路方法也是各不相同。为了掌握这类问题的解题方法,我们需要充分调用所学到的不同类型的数学知识和技巧,并且需要综合运用这些技巧和知识,选择合理的解题方法。

   

第二章  一元函数最值的求法

    一元函数最值的定义[1]:

    一般地,函数的最值分为最大值和最小值:设函数在处的函数值为。

(1)如果对于定义域内任意,不等式都成立,那么叫做函数的最大值,记作。 

(2)如果对于定义域内任意,不等式都成立,那么叫做函数的最小值,记作。

    一般地,函数的最值有两种特殊情况[2]:

(1)如果函数在上单调递增(递减),则是在上的最小值(最大值),是在上的最大值(最小值)。

(2)如果连续函数在区间内有且仅有一个极大(小)值,而没有极小(大)值,则此极大(小)值就是函数在区间上的最大(小)值。

2。1 配方法论文网

当我们最开始接触到函数最值的时候,遇到的第一种解题方法就是配方法。因为配方法的简答易使用,所以这是我们解决函数最值问题时最常用的一种方法。尽管配方法很常用,但它也有使用的局限性,这种方法只能够使用在那些原函数是二次函数的问题中,当然,如果原函数可以通过适当的变化转化成二次函数,那么也可以使用配方法[3]。

为什么配方法能够运用于二次函数呢?为了方便解答这个问题,首先我们需要对二次函数的一个性质有个初步的了解。二次函数(为常数且)其性质中有:

    (1)若,当时,有最小值;

    (2)若,当时,有最大值。

在了解了以上的二次函数的基础性质后,我们可以知道,配方法就是将原函数转化为二次函数的顶点式,并利用这一二次函数的性质来解决相关问题的。

例。 的三个内角为、、,求当为何值时,取得最大值,并求出最大值。    解:,

    当即时,取得最大值。

2。2 导数法

设函数在上连续,在上可导,则在的最大(小)值就是在的极值与和中的最大(小)值。

导数法往往运用在那些需要求三次或者三次以上的函数的最值,或者利用其它方法难以求解的函数最值问题上。一般来说,导数法是最简单的求函数最值的方法,正是因为它的简答,所以我们应该充分掌握它的解题步骤。

利用导数法求函数最值的一般步骤如下[4]:

(1)根据题意找到函数的定义域;

(2)求出函数的导数;

(3)求出函数在定义域的驻点(一阶导数为零的点);

(4)研究函数在驻点附近的函数单调性,并求出函数的极值点;

(5)将极值点处的函数值与定义域闭区间端点处的函数值比较大小,得出最值。

    例。 求函数,的最大值和最小值。

    解:求导得,

  令,方程无解,

  因为,

        所以函数在上时增函数,

        故:

        当时,;

        当时,。

2。3 判别式法

判别式法可以用来求解分式函数或者无理函数的最值,特别是那些题目中给出特定区间的函数。它主要运用于可以转化为关于某个变量的二次方程的函数的问题,需要注意的是,当这个变量的变化范围是全体实数时,只需要考虑;当这个变量的变化范围不是全体实数时,还需要结合对应的图像,另外求解不等式,才能确定[5]。文献综述

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