1。2 对称正定矩阵学习的意义

   对称正定矩阵在我们高等代数中有着很重要的地位，我们的很多证明计算习题都是从对称正定矩阵入手的，那么我们只有从其证明结论入手，研究出其更多定理和性质，这样我们就可以直接引用它的证明性质，这样方便我们解决高等代数很多问题，作为解题的枢纽我们要更多了解和学习它的性质。

1。3。对称正定矩阵的引出

   我们在此主要研究的是二次型的矩阵表示,主要是将二次奇次多项式通过线性替换转化为二次型的矩阵。

将其转化为二次型矩阵

     (1)

则（1）为二次型矩阵，这样我们就引出了二次矩阵。接下来我们可以看出

，其中,因此我们有，这样的矩阵我们称为对称矩阵，我们有二次型矩阵都是对称的。

1。4对称正定矩阵的定义文献综述

在前面我们已经引出了对称矩阵，那么接下来我们引入正定矩阵。我们先看实二次型的正定性，如下定义：

定义1满足有一组不全为零的实数,有，那么我们的实二次型是正定的。

其中，我们的实二次型为,其中

而将其进行非退化实线性替换，令，得到二次型

，其中，这样变换后我们的实二次型依然为正定的，我们可以推断，非退化实线性替换保持正定性不变。

1．5对称正定矩阵的定理

定理1n元的实二次型是正定的，那么它的正惯性指数等于，反过来也是可以推出了的。

我们从上面的分析，通过对实二次型正定性的分析，我们可以进一步讨论有关矩阵正定性的要求。我们可以得到一个推断，如果为实对称矩阵, 是正定的，那么我们可以讲为正定对称矩阵。这样我们就可以引出我们的正定对称矩阵的定义

第二章相关定义

拓展   首先由上述定义可以写出对称正定矩阵，我们可以做个拓展。

因此我们可以得到一个推论如下：

推论只要是正定矩阵，那么它的行列式都大于零。

2。1顺序主子式定义

接下来我们引入一个顺序主子式的定义，

称为矩阵A的顺序主子式。

2。2正定矩阵定理

引入定理2我们的矩阵的顺序主子式全部都大于零，那末我们的实二次型是正定的，而反过来也使成立的，从我们的实二次型是正定的，也可以推断出，矩阵的顺序主子式全部都大于零。另外我们可以看出来我们的矩阵也是正定矩阵。

2。3相关矩阵定义

1。正定矩阵定义2我们的实二次型，而且不等于0，如果我们有,我们有实二次型为正定的，因此可以得到，为正定的矩阵，有如果时，我们有实二次型为负定的，我们也可以得到，为负定矩阵，有。

下面我们看相关的实对称矩阵的相关定义

2。实对称矩阵定义3如果我们的矩阵满足等于的转置,那我们称这样的矩阵为实对称矩阵。

3。可逆矩阵定义4如果有单位矩阵,使得这样的阶方阵和阶方阵我们有

,那么这样的方阵A和B都是可逆矩阵。来.自^优+尔-论,文:网www.youerw.com +QQ752018766-

4。可逆矩阵定义推广我们在定义4中满足,那么成为的可逆矩阵。也可以称为的可逆矩阵。

5。成对角形定义5如果我们的矩阵满足这样一个条件,其中为任意一个阶矩阵,为一个阶正交矩阵,那么其成对角形。

6。正交矩阵定义6如果我们有,那么成为正交矩阵

第三章习题的引入及应用

3。1习题的证明