不同借贷利率的CAPM分析与实证(4)
（4）投资者分期投资，其投资氛围局限于证券，债券以及无风险资产
（5）资产可以无限细分，也就是说，不论投资者财富有多少，都可以按任意比例对持有资产进行买卖
（6）不存在交易成本，也不存在通货膨胀以及利率的变化
3.2 不同借贷利率的CAPM模型的的推导
3.2.1 经典CAPM模型的推导
我们先从基本的CAPM模型开始推导。假设市场上有N种风险资产，无风险利率为 ，若给定以其收益率 ，则要规划方差最小，有如下公式：
运用拉格朗日乘数法，引入拉格朗日橙子，得到如下
(3-1)
根据拉格朗日一阶导为零。如果考虑资产组合p和q，两者协方差可以表示为：
（3-2）
再将 的定义式 代入，得到下式 （3-3）
若果用组合 代替上式中的资产组合 ，因此得到资本资产定价模型：
（3-4）
此文运用分析理论与模型结合的方法，先对CAPM相关理论进行分析，推导出新模型，结合基金数据进行计量验证。其中实证部分的7个基金数据锁定在2014年2月1日到2014年12月31日这段时间，通过比较是否引入不同借贷利率模型的差异，来判断是否适合我国市场。
本文在结构上层层递进，基本可以分为4各部分：第一部分为绪论。分为两个小节，包括问题的提出与研究方法与结构；第二部分介绍传统CAPM模型，以及进行推导；第三部分是引入不同借贷利率后在传统CAPM模型模型上继续推导；第四部分属于实证研究部分；第五部分为结论部分。
3.2.2不同借贷利率条件下的CAPM模型推导
下面将引入不同借贷利率的条件。由假设条件得知，资金充裕者即资金贷出者，投资于风险资产的权重为 ，且有 <1；资金短缺者即资金借入者，投资于风险资产的权重为 ，且有 >1，对于任意理性的投资者来说，与经典CAPM模型一样，在固定资产收益的约束下，使得风险方差最小，得到下列公式：
引入不同借贷利率后，可以把借贷的判断条件转变为 与1的大小的比较关系。（3-5）
因为有效边界组合 ， 为正定，使得 ，
而 非负，有 ，所以有： （3-6）
令 ， ， ，
计算后得出切线和边界前沿组合交点 有： （3-7）
当 时， ； 时 。
在 时， ，即切点大小与利率显示正相关关系，所以不同借贷利率的条件下，有不同的切点，下列图1所示。
从图1投资组合有效边界可以得到，在不同借贷利率的条件下，原来为直线的有效边界被分成了三段：（1）线段 ，这个区间中投资者持有无风险资产和风险资产多头；（2）曲线 ，这个区间中投或者资者只投资于风险资产，却没有投资无风险资产，因 ，以 利率借入无风险资产进行投资或者以 利率投资于无风险资产是不可能的；（3）射线 ，这个区间里投资者会以 利率借入无风险资产，用于投资风险资产。
图1 投资组合有效边界图
但在这种情况下，并不是效用最大化，这有可能使新组合的效用低于原本的效用，如下图2：