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第一章 数形结合数学思想概述

1。1 数形结合思想概念

恩格斯说：“数学是研究现实世界中的数量关系与空间形式的一门科学，则其研究对象 大致可以分为两类：一类是研究数量关系的；一类是研究空间形式的”换言之，就是整个数 学都是以数和形作为研究对象的。所谓数形结合思想，我国著名数学家华罗庚教授曾用这样 一首诗生动地描述：“数与形，本是相依倚，焉能分作两边飞？数缺形时少直观，形少数时 难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分 离”，就是把抽象数学语言与直观的图形结合起来思索，或者借助于数的精确性来阐明形的 某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系，使抽象思维与形象思维相结 合，可以使复杂问题简单化，抽象问题简单化，从而实现优化解题途径的目的。

1。2 数形结合思想的历史发展

对于数形结合思想的历史发展，将从数学发展史上的“三次危机”来考察。首先是第一 次数学危机，即所谓的不可公度问题。古希腊毕达哥拉斯学派的一个成员希帕索斯考虑了一 个问题：边长为单位长度的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数， 也不能用分数表示，直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，即“一切数均可以表成整数或 整数之比”。与此同时，在当时的实际测量中我们只需要有理数就足够了，而且人们一般都 会认为有理数所对应的点填满了整个数轴。不可公度问题直接导致了无理数的发现——由形 而数，以及我们对数轴更为深刻的认识——由数而形，可谓是数形结合思想的典范。论文网

其次是第二次数学危机，其导源于微积分工具的使用。伴随着人们科学理论与实践认识 的提高，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿和莱布尼茨共同发现。两人在无穷小分析的 基础之上建立各自的理论，但他们在理解与运用作为基本概念的无穷小量时是不成熟的。牛 顿曾对它作过三种不同的解释： 1669 年时，牛顿提出说它是一种常量；1671 年改口提出它 是一个趋于 0 的变量；1676 年则用“两个正在消逝的量的最终比”代替。最终该如何解决 这一矛盾显得至关重要，当时的社会经济发展需要解决大量的实际问题，而这些实际问题都

是关于事物的量的问题，比如形体曲线的长度问题——形体曲线是形，而其长度大小则是数。 第二次数学危机的本质就是微积分基础的不稳固与微积分及其相关发展的实际应用以及由 此而引发的科学发现和技术革新之间所形成的巨大反差。它直接导致了实数理论的建构—— 加深了我们对数轴的理解，以及数学分析的算术化——由数而形，以及由形而数，可谓数形 结合思想的佳品。

再次是第三次数学危机，即罗素悖论问题。在第一、二次数学危机的基础上，人们近似 地认为数学基础理论的无矛盾性就是集合论的无矛盾性。集合论已经成为整个现代数学的逻 辑基础，数学似乎已经达到了“绝对的严格”。然而罗素悖论的提出无异于晴天霹雳，把人 们从美梦中惊醒。通俗化的罗素悖论即书目悖论是这样描述的：一个图书馆编写了一本书名 词典，它列出这个图书馆里所有不列出自己书名的书，那么它列不列出自己的书名？就其实 质而言，第三次数学危机促使数学家真正思考这样一个问题：数学究竟应该建构在什么样的 基础之上？对于这一问题的展开思考，直接催化出公理集合论，并且由此建立了关于“数学 基础”研究的三大学派——以罗素为首的逻辑主义学派、以布劳威尔为首的直觉主义学派和 以希尔伯特为首的形式主义学派。这里看似没有数形结合的问题，其实这是在更高层面或更 抽象层次上的数形结合思想的真正体现，形总是直觉的，而数则离不开抽象。反之亦然，即 数学直觉总是离不开形的影子，而数学抽象更不能没有数的相伴，可谓现代数学创造的孵化   器。