二、数学变式教学的含义及分类

传统的“变式”一个明确学术化的定义如下：相对于某种范式（即数学教材中具体的数学思维成果， 含基本知识、知识结构、典型问题、思维模式等）的变化形式，就是不断变更问题的情境或改变思维的 角度，在保持事物本质特征不变的情况下，使事物的非本质属性不断迁移的变化方式[1]。对应地，这一 定义下的变式教学就是变化数学概念、习题中的非本质因素，突出本质因素，让学生明确本质，掌握一 般技巧，形成科学概念。

纵然，变式教学离不开习题，但我们应该把变式练习与“题海战术”、“机械学习”区分开来。变 式练习是有变化的重复学习，是有意义的，故不同于后者一层不变的纯粹的机械训练。

除了传统的变式教学外，顾泠沅教授还推广了数学变式教学的概念。根据安德森按信息加工的角度 对知识的分类（当然包括数学知识），知识分为陈述性知识和程序性知识。陈述性知识是关于“是什么” 的知识，是对事实、定义、规则和原理等的描述。程序性知识则是关于“怎么做”的知识，如怎样进行 推理、决策或者解决某类问题等[2]。传统的变式教学是针对陈述性知识（概念）的，陈述性知识是静止 的，而程序性知识则是一个动态的过程，在此认知的基础上，顾泠沅教授对变式教学进行了推广及分类。

他认为，变式教学应该分为概念性变式（对应陈述性知识）和过程性变式（对应程序性知识）。其 中，概念性变式意在促进对概念、定理、运算法则的多角度理解，其又可以分为概念变式和非概念变式。 概念变式指改变概念的外延，帮助学生以具体理解一般抽象，从具体中概括出抽象，由此使学生从正面 更了解本质；非概念变式指改变能混淆概念外延的属性等，比如举反例，使学生从反面、从多角度加深 理解，对题目进行非本质改变，使学生掌握计算技巧。过程性变式意在使学生掌握解决某类问题的策略 方法或者通过逐层递进让学生接受某种数学思想[3]。

结合教育心理学的相关内容，我认为依据变式的目的，变式教学可分为两类。一种是通过对知识点 的非关键词或者关键词进行改变、对题目的非关键条件进行变化，让学生熟练掌握所学知识，巩固强化 已有图式，熟悉计算法则、解题方法。另一种是通过支架式教学，在学生已有认知水平的基础上，引导 学生逐步深入更高深抽象的学习或触类旁通相关知识的学习，扩大经验系统，这类目的下，教师的变式 或者诱导学生自主进行的变式就是“支架”，应该保证搭建的支架处于学生的最近发展区里，即要使变 式合理有效，使变式后产生的新问题满足学生有能力解决的可能。（最近发展区指实际的发展水平与潜 在的发展水平之间的差距，前者由独立解决问题的能力而定；后者则是在成人的指导下或是与更有能力 的同伴合作时，能够解决问题的能力[2]。）

三、数学变式教学的原则及方法

变式教学不能随心所欲由着教师的想法进行，为了更好的实现教学目标需要遵循一定的原则，结合 认知发展理论和一般教学原则，我认为主要有以下几点：

1、针对性原则。针对不同的课型，不同的教学目标，变式教学服务的对象也不同。例如，新授课 的习题、概念变式应力使学生对本节课的重难点掌握理解；习题课的习题变式应以本章节要掌握的性质 定理及计算法则等为主，并适当渗透一些数学思想；复习课的习题变式不但要兼顾上面两种课型的内容， 还要进行纵向和横向的联系，让学生对整章的内容有总体的认识，形成构架，以方便承上启下。