由极限的定义可知： 。

【注记】：

（1）当 时结论依然成立，方法和上述证明类似，不同之处在于对极限趋于无穷的描述。

（2）其逆命题，若 ， （这里 可以为  ）不成立，例如数列 。但是加上限制条件如数列 单调则结论成立，其证明不再赘述。

（3）我们还有另外一个结论，若数列 满足 ，则 。

（4）实际上，还有更简单的方法，采用Stolz公式可以一步到位，实际上Stolz公式的证明与此题类似。

（5）利用定义法求解极限问题时往往要用到不等式的放缩技巧，特别是三角不等式，是非常有用的。

例2．求极限： 

【分析】：显然，求出此积分的一般表达式是非常困难的，积分的具体值也是难以计算的。将此积分记为 ，通过WolframAlpha软件计算得 , ,  …  … … …  …… 。通过以上计算结果，可以发现： 是单调递减且不断趋近于0的，故可以猜测此极限的值为0。下面将用定义法证明这一论断。

证明：由于 是收敛的，故对于任意给定的 ，都存在着一个 ，使得 成立。因此，我们得到

 。又因为：

所以存在 ,使得对于任意 ,都有 成立。故对于任意  ，都  有 

成立，故由极限的定义可知 。

【注记】：以上求极限的过程，采用了分段估计的方法，将原本复杂的问题分开解决，是“分而治之”思想的体现。利用类似的方法，我们可以解决如下问题：证明 。更一般地，用定义法可以证明:

若 可积，且满足 ，则有如下结论:文献综述

3。2利用初等变形和等价代换求极限

3。2。1利用初等变形求极限

如果一个问题，所给的极限形式很复杂，一时看不出头绪就可以用初等数学的方法将其变形，然后在求极限。

例3。求极限： 

【分析】：此题中的极限较为复杂，要通过适当的初等变形。由于分母中有立方求和，所以可以利用立方求和公式化简。

解：原式 

3。2。2利用等价代换求极限

     等价替换适用于乘除式的极限里，用多项式等价替换某些常见的初等函数，而不改变极限的值。最常见的等价方式如下：当x趋近于0时，有：