3。 同余理论 9

3。1 同余的定义和定理 9

3。2 同余理论在自主招生及数学竞赛中的应用 10

3。2。1。 解决整除性问题 10

3。2。2。 Euler、Fermat定理的应用 11

4。 同余方程 12

4。1。 同余方程的定义和定理 12

4。2。 同余方程在自主招生及数学竞赛中的应用 13

5。 不定方程 14

5。1 不定方程的基本定义和定理 14

5。2 不定方程在自主招生及数学竞赛中的应用 15

5。2。1。 一次不定方程 15

5。2。2。 高次不定方程 16

6。 结论 17

参考文献 18

致谢 18

引言

研究背景

数论问题在古代的发展

对于数论的研究有着非常悠久的历史。公元前3世纪，欧几里得的《几何原本》开创了古典数论的研究。而在我国，公元4世纪的《孙子算经》是一篇重要的数学著作，其中“物不知数”的解法已经基本包含了现代数论中的剩余定理。16、17世纪的欧洲，大批数学家热衷于向其他数学家提出难题，公开举行比赛，这对于数学的发展起到了至关重要的作用，而在赛题中就涉及著名的费马大定理，其对数论的发展以及对后世的影响可见一斑。 

数论在现代数学竞赛以及我国高校自主招生中的地位来自优W尔Y论W文C网WWw.YoueRw.com 加QQ7520,18766

近现代数学竞赛起源于匈牙利，1894年，当时的数理学会举行数学竞赛，规定由高中学生参加竞赛，试题以奥妙而奇特的形式，一般都有富有创新点的解答。后来，数学竞赛在东欧蓬勃开展，前苏联第一次提出 “数学奥林匹克”的概念，认为它与体育竞赛一样都崇尚奥林匹克精神。19世纪，伟大的德国数学家高斯这样说道“数学是科学的皇后，数论是数学的皇后”，可见数论在数学中的地位，因此考查数论知识的题型成为数学竞赛中的常客，在过去的五十六届IMO中，数论问题约占30%，除第三、五、七及十五届外，每届都有，3道及以上者达十一届(最多的是第三十一届有5道)。1990年，在我国举行的第31届国际数学奥林匹克中，总共六道试题中涉及数论的问题占了五道，因此这一年被称为“数论年”。在我国的全国高中数学联赛中的考试范围中也明确初等数论的相关内容是考试的一大重点。2003年才开始推行的自主招生中，由于数论具有形式简单，富有灵巧性的特点，因而广受高校自主招生出题者的青睐。 

国内外研究现状

数论问题题型简洁明了，实际解决起来却十分复杂，这使得它成为各类竞赛以及自主招生中的宠儿。中国奥数高级教练沈文选在编写《奥赛经典·专题系列研究》时，专门全面、系统整理了与数论相关的知识点和解题技巧，认为数论专题知识是解竞赛题不可或缺的材料，能激发解题的直觉和灵感。另外，国内外也有很多的书籍和文献资料来分类别记录中学竞赛中的数论题，且大多都是以数论的专业知识来解决。但我国的数论专家单墫教授、美国的L。C。拉森都曾指出：要提高解题能力，必须注意总结。而在数论学科的研究方面，二十一世纪的前十余年里，数论中一些尚未解决的世纪难题取得了多项突破性进展，这使得研究数论问题成为一大热点。