2 几类特殊不等式的介绍与证明

2。1 均值不等式文献综述

    均值不等式是不等式理论的核心，是现代分析数学中应用最广泛的不等式之一。下面给出均值不等式的内容。    设 为 个正数，则 ，称为均值不等式，其中

 ， ， ， ，分别称为 的调和平均数、几何平均数、算数平均数、均方根平均数。 这四种平均数仅当 时取到等号。    均值不等式的推广形式（幂平均不等式）： ，记  ,它是关于 单调递增。显然 是上述不等式的特殊情形，即 。 最常见的推广形式是加权 不等式[3]：设 是正实数，如果 个非负实数 的和为1，则 ，当且仅当   时取等号。

   下面给出均值不等式的几种证明方法。

证法1[1]（用排序不等式证明）

不失一般性，假定 ，设 ， ，则 。 不等式变为 。

注意到如果序列 是增加的，则序列 是减少的。 由排序不等式，得到 ，

当且仅当 时，等号成立。 因此 ，

当且仅当 时成立。    证法2[1] （用反向归纳法证明）