证明  由条件可以得到 ．

又因为所以 ．

根据 和 可以构造以 和 为根的一元二次方程

由于故可解得 ．

2。3　构造函数证明不等式

函数的单调性、凹凸性、最值等性质都与不等式密切相关，因而我们就可以构造相关辅助函数，利用函数的性质来证明一些不等式． 

例3[3]　已知 求证： ．

分析　注意到不等式两边即为函数 ，当 与 时的函数值，而

由条件可知 ，因此只需要证明函数 在 上严格单调递增即可． 

构造函数 ．由于

在 上恒成立，故 在 上严格单调递增．又 ,故 ，所以      即       在构造函数来证明不等式的过程中，通常会利用函数的单调性、凹凸性或者最值来证明不等式．导数又是研究函数的这些性质的重要工具，因而导数在不等式证明中也常常使用． 

例4[4]　求证： ，其中 ．

分析　这是一个双向不等式，容易联想到函数的最值问题．若构造函数

 ，

只需要求出该函数的值域即可．文献综述

证明　先作万能代换 ，则                 

所以原不等式变为      构造函数         由于所构造函数的分母小于 ，所以该函数对任意 都成立，把它整理成关于 的一元二次方程

 ，方程对任何 都成立．当 时， ，即 ；当 时，一定有

在此题目中可以构造新的函数，再利用值域问题的判别法解决问题．在运用构造函数方法来证明不等式时要适当转换，寻找题目中隐含的函数来构造函数．

2。4　构造数列证明不等式

数列的单调性与不等式是紧密联系的，对于一些与自然数有关的不等式问题，可以通过构造数列，利用数列的单调性来证明[5]．

例5[6]　求证  ．证明　令

2。5　构造几何图形证明不等式

一些不等式具有明显的几何意义，这时可通过构造几何图形，利用几何图形之间的关系来证明．其实这种构造图形来解决问题的思想就是常说的“数形结合”思想．

例6[7]　证明：如果 ，那么 ，当且仅当 时等号成立． 

证明　如图，在长是 的线段 上取一点 ，使得 ．不妨设 ，以 为直径作圆 ，过 作 垂直于 分别交圆 于 ，连接 ，作 垂直于 ，交 于 ．