摘要：在实分析中，有几种基本而重要的收敛，它们之间的关系非常密切，但同时又存在一定的差异。因此在一般的抽象空间上系统的阐述及讨论各种收敛性的关系，无论是从科研角度还是从教学来说，都显得尤为重要。这几种收敛分别是：几乎一致收敛、几乎处处收敛和依测度收敛。为此，本文先着重讨论几乎一致收敛，依测度收敛以及几乎处处收敛的定义，同时归纳总结可测函数列在一定前提条件下关于几乎一致收敛、依测度收敛以及几乎处处收敛等情况之间的关系。92609

毕业论文关键词：可测函数，几乎一致收敛，依测度收敛，几乎处处收敛

Abstract: In the real analysis, there are several basic and important convergences。 The relationships between them are very close。 But at the same time, there are also some differences。 Therefore, I will discuss and expound the relationship between various convergences on the general abstract space, whether they are from the aspect of scientific research or teaching, they are all very important。 These convergences are: Almost Uniform convergence, Almost everywhere convergence, Convergence in measure。 To this end, this paper focuses on their concepts and relations under the certain condition between them。

Keywords: Uniform convergence, Almost everywhere convergence, Convergence in measure

目录

1 前言 4

2 三种收敛的定义 4

2。1 几乎处处收敛的定义 4

2。2 几乎一致收敛的定义 4

2。3 依测度收敛的定义 5

3 三种收敛之间的关系 5

3。1 几乎一致收敛和几乎处处收敛之间的关系 5

3。2几乎处处收敛和依测度收敛之间的关系 7

3。3 几乎一致收敛和依测度收敛之间的关系 8

3。4 三种收敛的关系图 9

结论 10

参考文献 11

致谢 12

1  前言来自优O尔P论R文T网WWw.YoueRw.com 加QQ7520`18766

函数列的收敛性问题，不仅是数学教学课程的重点内容之一，也是难点内容之一。本文介绍可测函数列的几乎处处收敛、几乎一致收敛以及依测度收敛三种概念，并且讨论这三种收敛之间的关系。可测函数列的这三种收敛性有强弱之分，因此这三种收敛之间的关系有待我们研究。由可测函数列的几乎一致收敛性能推出该函数列几乎处处收敛、依测度收敛；由有界可测集上的可测函数列的几乎处处收敛性也能推得该函数列依测度收敛。由此可见，三者中最强的收敛是可测函数列的几乎一致收敛性，然而依测度收敛则是三者中最弱的收敛性。如此，能不能把条件太强的几乎一致收敛跟其他的比较弱的两种收敛联系起来呢？因此，本文通过几个著名的大定理：叶果洛夫（Egoroff）定理、勒贝格（Lebesgue）定理、黎斯（Riesz）定理研究三种收敛之间的关系，即通过这些定理，我将会把一种弱的收敛性与比它强的收敛性联系起来，给出强弱这两种收敛之间的关系。

2  三种收敛的概念 

2。1  几乎处处收敛的定义[1]

设函数列 、函数 定义在同一数集 上的可测函数。若存在 ，且 使得对任何的 ，都有

 ，

则称 在 上几乎处处收敛于 ，记作 于 。