2。2  几乎一致收敛的定义

设函数列 、函数 定义在同一数集 上，则

函数列 在 上一致收敛 对于 ， ，总存在 ，使得当 时，都有

否定形式：函数列 在 上不一致收敛 存在 ，存在 ，对任何的 ,存在 ，使

    几乎一致收敛：设 ， 在 上 有限的可测函数。若对于 ， ，使得 且在 上 一致收敛于 ，则 在 上几乎一致收敛。

2。3  依测度收敛的定义

设函数列 、 是定义在可测集 上的几乎处处有限的可测函数，若 使得对 ，都有

即对 ，存在 ，当 时，恒有论文网

则称函数列 在 上依测度收敛或测度收敛于 ，记为 于 。

用 语言：对 ， ，当 时，都有

用文字描述：

如果不妨设一个（误差） ，不论 有多么小，使得 的点 可能很多，但这些点的集合的测度随着正整数 的无限增大而趋向于零。

3  三种收敛之间的关系

3。1  几乎一致收敛与几乎处处收敛之间的关系

命题1：若函数列 在 上几乎一致收敛于 ，则 在 上必几乎处处收敛于 。

证明：因为函数列 在 上几乎一致收敛于 ，不妨设 是 的可测子集

所以对于 ，对 ，总存在 ，使得当 时，都有

 。且对 ， ，有 

于是 ，所以 在 上必几乎处处收敛于 。

命题2：（叶果洛夫（Egoroff）定理）设 ，函数列 与 是 上 有限的可测函数，若 在 上 收敛于 ，即  于 ，则对 ， ： ，使得函数列 在 上几乎一致收敛于 。

例1： 在 上收敛于 ，但是 在 上不一致收敛。请证明。

证明：存在 ， ，存在 ， ，使

因此， 在 上不一致收敛。文献综述

但是 在 内是一致收敛，请证明。

证明： ， ， ， ，都有

故 在 内是一致收敛的。

例2[3]：考虑定义在 上的函数列 ，则 在 上点点

收敛到函数       

显然 在 上不一致收敛到 ，但对于 ， 在 上一致收敛到 。

说明1[2]：叶果洛夫定理指出，满足定理条件的几乎处处收敛的可测函数列，在去掉一个测度任意小的点集后是几乎一致收敛的。因此定理在许多场合为处理极限交换问题提供了依据