摘 要：本文讨论了傅里叶级数在常数项级数、数项级数、黎曼函数上的运用。 通过运用傅里叶级数的展开式求常数项级数和数项级数的和，以及证明黎曼函数在 s 取正偶数时的求和公式，研究了素数在自然数中的分布情况。

毕业论文关键词：傅里叶级数，常数项级数，数项级数，黎曼 Zeta 函数，素数92896

Abstract:  In this article, we investigate the application of Fourier series in Constant term series, Series of numbers, Riemann function。 Via the expansion of using Constant term series and Series of numbers, as well as Riemann function taking the summation formula is even in s, we study the prime number distribution in natural number。

Keywords：Fourier series, Constant term series, Series of numbers, Riemann Zeta function，Prime number

目   录

1  引言  4

2  傅里叶级数的定义  4

2。1  三角函数·正交函数系  4

2。2  以 2π为周期的函数的来自优O尔P论R文T网WWw.YoueRw.com 加QQ7520`18766 傅里叶级数  5

2。3  偶函数与奇函数的傅里叶级数  6

3  傅里叶级数的应用  6

3。1  傅里叶级数在常数项级数和中的应用 6

3。2  傅里叶级数在数项级数和中的应用  8

3。3  傅里叶级数在黎曼函数中的应用  11

结论  13

参看文献  14

致谢  15

1 引言

    傅里叶级数起源于人对声学的研究以及物体的震动。几位数学家布鲁克·泰勒（Brook

Taylor，1685 年－1731 年）、丹尼尔·伯努利、让·勒朗·达朗贝尔（D'Alembert Jean Le Rond，1717 年-1783 年）、莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707 年-1783 年）、约瑟夫·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736 年-1813年）在研究弦震动时碰到了一个问题——是否任何的周期函数都可以用正弦函数 y=asinωt 和余弦函数 y=bcosωt 构成的无穷级数来表示。随后，傅里叶对热传导方程过程中求解偏微分方程的边值问题进行了研究，从而提出了傅里叶级数，表明任意级数能用三角函数的和来表示[1]。论文网

    傅里叶级数是一种特殊的三角函数，它在将函数展开成无穷级数时涉及到了微积分和级数理论。微积分运用极限逼近的方法对问题进行分析，从而通过极限计算，得到数值结果。而级数则与插值法的研究紧密相连，它将复杂的函数进行展开与逼近，得到简单的三角函数的线性组合, 从而对复杂函数的特性进行了解、分析[2]。微积分和级数对函数的研究有着重要的作用，它们无论是在理论方面还是实际应用上都有着不小的贡献。

    傅里叶级数在物理学、生物学、医学以及电子技术领域取得了巨大的成就，它是解决这些领域中一些周期问题时所要用到一些复杂计算的主要工具。本文主要给出傅里叶级数的定义以及研究傅里叶级数在黎曼函数、三角级数求和、数项级数等方面的应用。

2 傅里叶级数的定义

2。1 三角级数·正交函数系

    在理论实验或实际生活种，常常能遇见一些周期运动。一些简单的周期现象，如物理

中的单摆运动等，都可以用正弦函数

来描述。由（1）式所表达的周期运动也称为简谐振动，其中A为振幅， 为初相角，ω

为角频率，于是简谐振动 y 的周期是 T= 。 如果是比较复杂的周期运动，那么通常是几个简谐振动[3]

的叠加 对无穷多个简谐振动进行叠加就得到函数项级数