摘 要：矩阵是高等代数的主要内容之一，而矩阵特征值又是矩阵的基本内容。本文给出了矩阵特征值的定义、性质及计算方法，研究了几种特殊矩阵的特征值及其性质。

毕业论文关键词：矩阵,特征值，特征向量，特征多项式，正交93623

Abstract:Matrix is one of the main contents of higher algebra, and matrix eigenvalue is the basic content of matrix。 In this paper, we give the definition, properties and calculation methods of matrix eigenvalues , and study the eigenvalues and properties of several special matrices。

Keywords:matrix, eigenvalue, eigenvector, eigenpolynomial,quadrature

目   录

1  引言 4

2  矩阵特征值 4

2。1  矩阵特征值的定义和性质  4

2。2  矩阵特征值和特征向量的求法  4

2。3  与矩阵 有关的矩阵的特征值  5

3  几种特殊矩阵的特征值 5

3。1  实对称矩阵 5

3。2  实反对称矩阵 7

3。3  埃尔米特（Hermite）矩阵  8

3。4  正交矩阵 8

3。5  酉矩阵 9

3。6  幂等矩阵 9

3。7  幂零矩阵 10

3。8  幂幺矩阵10 

3。9  每行元素之和为 的矩阵  11

  参考文献13

1  引言

矩阵是高等代数的主要研究对象之一，也是数学及其它领域研究与应用的重要工具。在高等代数的学习中矩阵作为一种媒介贯穿始终，无论是学习行列式、线性方程组、二次型的内容还是学习线性空间、线性变换、欧几里得空间等内容，都一直会用矩阵这个媒介来研究问题，而矩阵特征值是矩阵的基本内容。在高等代数的学习中，矩阵与特征值是学习的重点与难点，同时矩阵也是研究问题的重要工具。我们在研究矩阵和学习相关数学知识时，常常要讨论一些特殊矩阵的性质，而且这个知识点也是考研的热点，所以本文给出了矩阵特征值的定义、性质、计算方法和与矩阵 有关的矩阵的特征值，且讨论了实对称矩阵、实反对称矩阵、埃尔米特矩阵、正交矩阵、酉矩阵、幂等矩阵、幂零矩阵、幂幺矩阵和每行元素之和为 的矩阵等几种特殊矩阵的主要性质并加以证明。

2  矩阵特征值

2。1  矩阵特征值的定义和性质来自优I尔Q论T文D网WWw.YoueRw.com 加QQ7520~18766

定义1[1]  设 是 阶方阵，如果对于数域 中的数 ，存在非零的 维列向量 使得 ，则称 为矩阵 的一个特征值， 为 的属于特征值 的一个特征向量。

性质1[2]  属于不同特征值的特征向量是线性无关的。

性质2[2]  如果 是 阶矩阵 的不同特征值，而 是属于特征值 的线性无关的特征向量， ，则向量组 也线性无关。

性质3[2]  若 阶矩阵 的特征值为 ，则有 ， 。

性质4[2]  （Hamilton-Caylay定理）设 是数域 上一 阶矩阵， 是 的特征多项式，则 。

2。2  矩阵特征值和特征向量的求法

定义2[2]  设 是数域 上一 阶矩阵， 是一个文字，矩阵 的行列式

称为矩阵 的特征多项式，这是数域 上的一个 次多项式。

（1）如果 是矩阵 的特征值，当且仅当 。

（2）设 是 的一个特征值， 是特征值 的一个特征向量当且仅当 是线性方程组 的非零解。

确定矩阵 的特征值与特征向量的方法步骤：

（1）求出矩阵 的特征多项式 在数域 中的全部的根 。

（2）对于特征值 ，将其代入方程组 中，求得基础解系 ，

则 是特征值 的线性无关的特征向量，故矩阵 的所有属于特征值 的特征向量为 ， 是数域 中的常数，且不全为零（ ）。