2。3  与矩阵 有关的矩阵的特征值论文网

性质5[3]  若 阶矩阵 的特征值为 ，特征值 的特征向量为 ， ，则

（1） 的特征值为 。

（2） 的特征值为 。

（3） 的特征值为 。

（4）若 可逆，则 的特征值为 ， 的特征值为 。

（5）若 不可逆，则当 的特征值为0（ ）和 。当 时， 的特征值为0（ 重）。

（6） 的特征值为 。

证明  （5） 不可逆，  ,

故当 有 的所有 级子式全为零与 矛盾，故 。所以 的所有级数大于1的主子式均为零，故

 ,

因此当 的特征值为0（ ）和 ，

当 时， ,故 的特征值为0（ 重）。其余证明见参考文献[3]。

3  几种特殊矩阵的特征值

3。1  实对称矩阵

    定义3[2]  对于 阶矩阵 ,如果其各个元素都是实数，且 ，即 ,则称 为实对称矩阵。

    性质6[2]  实对称矩阵的特征值为实数。

    性质7[2]  设 是实对称矩阵，则 中 的不同特征值对应的特征向量之间必正交。

性质8[2]  任意一个 级实对称矩阵 ，都有一个 级正交矩阵 ,使得 成对角形。

例1  已知 ,求一正交矩阵 使 成对角形。

解  矩阵 的特征多项式为 。

所以 的特征值为2，2，2，-2。文献综述

    先求 的属于三重特征值2的特征向量，将 代入 ，

中有 

求得其基础解析为 

将其正交化有 

单位化得 

则这是属于三重特征值2的三个标准正交的特征向量。

    再求属于特征值-2的特征向量，将 代入 ，

中有 

解得基础解系为 

将其单位化有， 

故特征向量 构成 的一组标准正交基，所求的正交矩阵为