摘　要：柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，它的结构对称，形式优美，在数学的许多领域都有着广泛的应用．本文对柯西不等式的证明方法进行了较为系统的归纳，并探讨了柯西不等式在求最值、证明不等式、证明等式、解方程组、求参数取值范围、求解三角问题及几何问题等方面的应用．94834

毕业论文关键词：柯西不等式，证明，应用，最值，方程

Abstract: The Cauchy inequality is a very important inequality in mathematics。 Its structure is symmetrical and graceful, and it has a wide range of applications in mathematics。 In this paper, we summary the proof method of Cauchy inequality systematically, and discuss the application of the Cauchy inequality in finding the maximum value, proving the inequality, proving the equality, solving the equation group, seeking the parameter range, solving triangular problems and geometric problems, etc。 

Keywords: Cauchy inequality, proof, application, most value, equation

目　录

1  引言4

2  柯西不等式4

3  柯西不等式的证明5

3。1　配方法5

3。2　判别式法 5

3。3  基本不等式法6

3。4  参数法… 7

3。5  数学归纳法 8

4  柯西不等式的应用9

4。1　柯西不等式在证明不等式中的应用…10

4。2　柯西不等式在证明等式中的应用 10

4。3　柯西不等式在最值问题中的应用…12

4。4  柯西不等式在解方程组中的应用 13

4。5  柯西不等式在求参数的取值范围中的应用… 14

4。6  柯西不等式在三角问题中的应用 15

4。7  柯西不等式在几何中的应用… 15

结论18

参考文献… 19

致谢20

1　引言

柯西不等式是数学中一个重要的不等式，它的结构对称和谐，形式优美，在数学的许多领域都有着广泛的运用．近年来，关于柯西不等式的文献不少[1-9]，但对柯西不等式的应用进行进一步的研究仍有必要．本文主要探讨柯西不等式在证明不等式、证明等式、求最值、解方程、求参数的取值范围、三角问题及几何等方面的应用．

2　柯西不等式

定理[1]　对任意两组实数 和 ，有 ,论文网

当且仅当 时，等号成立．这个不等式称为柯西（Cauchy）不等式．

柯西不等式的推广[2]（1）对任意 ，有 ，

当且仅当 时等号成立．

（2）设 ，则有 ，

当且仅当 时等号成立．

（3）设 ，则 ，

当且仅当 时等号成立．

3 柯西不等式的证明

3。1　配方法

作差并配方得

当且仅当 ，即 时等号成立．柯西不等式得证．

3。2　判别式法令 ，

整理得 ,

由于任意 ， ，故方程 的判别式 ，即 ,

所以 ．

当且仅当 即 时等号成立．

3。3　基本不等式法

记则柯西不等式等价于 ，

也等价于 ．

由基本不等式 ,得 ,

当且仅当 ,即 时等号成立． ,

当且仅当 ，即 时，等号成立．依此类推，有 ,

当且仅当 ，即 时，等号成立．以上 个式子相加得

当且仅当 时，等号成立，即等价命题成立．所以，柯西不等式成立．

3。4　参数法

设 ，由平均值不等式得右边可视为 的二次函数．则所以显然当 即 时，等号成立．

3。5　数学归纳法

（1）当 时， ，显然成立；当 时，