等熵相对论欧拉方程组零压流体的Riemann问题(3)
由于高文系统的复杂性，人们主要研究方程组（1.5）的一文情形. 如果压力只和质量-能量密度有关系，该方程组变为
关于此系统，已经有比较完备的适定性理论结果，此处就不再详细叙述。
如果流体是等熵的，则（1.5）简化为
（1.7）
从形式上来看,方程组(1.4)在牛顿极限的意义下可化为经典的可压缩流体的等熵Euler方程组
（1.8）
这也是我们研究等熵相对论欧拉方程组（1.7）的目的之一.
对等熵系统（1.7），1996年,Pant解决了该方程组的Riemann问题和Cauchy问题[12]. 2004年,Li和Shi 考虑了该方程的整体熵解的整体存在性[11]. 2006年,Li和Geng利用非线性的几何性质及Glimm方法,讨论了当光速 时,等熵流体的相对论Euler方程组的整体熵解的极限. 1999年,Sheng和Zhang解决了零压流的输运方程组的Riemann问题, 利用广义特征分析的方法构造性的得到了两种Riemann解: 一种包含delta激波, 另一种出现了真空. 利用粘性消失的方法, 作者得到了delta激波的广义Rankine-Hugoniot条件和广义熵条件, 并且研究了粘性系统解的存在性及粘性解的极限情况,从而证明了输运方程解的存在性和稳定性[15，16].
本文中，为了求解方程组（1.7），两个方程，三个未知变量 ，我们还需要另外一个方程. 对理想流体, 状态方程为
其中 是绝热指数. 表示等温(正压)流, 而 代表多方气体. 等温流对于相对论中恒星演变的研究意义重大. 在恒星形成的早期, 等温情形是确实存在的. 想象一片缓慢消失的星际气体云或是尘埃粒子云, 在这过程中会达到一种阶段, 此时云内光子传播的平均自由路径变得足够小, 使得光子的分散具有很重大的影响. 在这段时期, 云内的运动相对来说比较小, 而光子的分散使得云内温度处处相等, 此时 就成立了. 作为等温流的一个特殊情形, 状态方程 起源于许多重要的相对论情形, 由于它可以作为一个密集中子星的状态方程的模型, 故而它对于重力消失的研究也很重要.
本文中，我们主要考虑等熵相对论零压流体的Riemann问题. 零压流体即重力消失时的情形，这种情况在外太空更为多见. 所以零压流体问题具有非常重要物理意义. 另外当压力消失时，会出现两种不同于一般流体Riemann的现象：真空和迪拉克激波. 前者出现于间断两边流速扩散开时，后者出现于间断两边流速相互挤压时. 和具有压力的流体相比，真空对应于疏散波，迪拉克激波对应于一般的激波.
此外为研究上述相对论Euler方程组的相关问题,我们需要了解如下的预备知识.
2 预备知识
2.1 一文守恒型方程组
具有如下形式的一文偏微分方程组
(2.1)
称为守恒型方程组,其中 是关于 的 文矢量函数, 称为守恒量, 或状态变量. 如流体动力学中的质量, 速度能量等. 更精确点就是 是第 个状态变量的密度函数. 表示该状态变量在区间 中 时刻的总量. 为状态空间 上一给定的光滑函数, 称为流函数.
我们称这个状态变量是守恒的是指 关于 是不变的. 守恒型方程组是由物理定律在任意两点 和 之间如下形式积分
（2.2）