等熵相对论欧拉方程组零压流体的Riemann问题(4)
得到的.(2.1.2)表示在区间 中的总流量(如质量,动量,能量等)的变化仅仅与两端点处的流量有关, 这就是守恒的基础, 其中 和 分别表示时刻 在 和 点的流入流出量.
当 时, (2.1)式即为单个守恒律方程.
为 的矩阵. 我们说方程组（2.1）为双曲型的，若 可对角化且有实特征值 ；若所有的特征值 互不相等时，则称方程组（2.1）是严格双曲的.
非线性守恒律方程组(2.1)可写为下面的拟线性形式 (2.4)
若(2.1)是双曲型的, 即 可对角化. 记 为 的右特征向量组成的矩阵及则有
每个特征值 就决定了一特征方向 , 并对应着一个特征场. 而每个特征方向就决定了一类(族)曲线
我们把这族曲线称为方程(2.4)的第 类(族)特征线. 每一类特征线覆盖整个 的上半平面.
对于一特定区域 , 若 满足
（这里 .）则称方程（2.1）对于特征值 是真正非线性的.
若（2.6）对所有的 都成立，则方程组（2.1）是真正非线性.
如果
则称方程(2.1)对特征值 是线性退化的.
若 是(2.1)的一个 解, 为 平面某区域. 光滑函数 被称为是(2.1)的一个k-Riemann不变量， 若它满足
若在 内的所有k-Riemann不变量为常数, 则 被称为 简单波. 可以证明简单波区域中的特征线为直线, 且流动是连续的. 简单波分为稀疏波和压缩波. 穿过压缩波时, 不论是前向还是后向的, 其直线族特征线是聚拢的; 而穿过稀疏波时,其直线族特征线是散开的.
2. 1.1 间断解与Rankine-Hugoniot条件
满足方程(2.1)的连续可微的解称为经典解. 但是，一般来说, 无论初值多么光滑, 方程(2.1)的经典解都不会是全局的, 解都可能出现间断. 因此我们需要接受更低的正则性要求的解, 由此提出了弱解的概念：
定义2.1 当 时,若对于 满足
（2.8）则称 为方程组(2.1)的弱解, 其中 .
当解出现间断时, 在间断面处不再按古典意义满足方程组(2.1), 而是满足一定的间断面关系式, 即Rankine-Hugoniot条件:
其中 是间断传播速度, 是状态量 和 跨过间断的跳跃度, 和 分别是间断两侧的 ，
若方程组在某区域是线性退化的, 也就是 ，则 是k-Riemann不变量. 表明 沿着 是常数. 则若 有
上式表明间断一边的特征线速度等于间断速度, 这种间断称作接触问断.
2.1.2熵函数和熵条件
解的概念的拓广解决了我们在经典解研究中遇到的问题, 但同时又产生了新的问题, 即非物理解的出现. 从而弱解通常是不唯一的. 于是对弱解的定义必须有进一步的限制. 需要有一个判别准则. 所以我们介绍了如下的熵条件. 对守恒律方程组定义熵函数 如下: 为 的凸函数, 并且对于(2.1)的光滑解 , 满足
若 是方程(2.1)的间断解, 则应对于所有的熵函数 和对应的熵流函数 在弱解的意义下满足 (2.13)
则称 是方程(2.1)的满足熵条件的弱解.
对于一个间断 满足下式(2.14)
则称(2.1)的 激波满足Lax几何熵条件(2.14).
2.2守恒方程组的Riemann问题
Riemann问题是初值是分片常数的特殊初值问题. 守恒律方程组（2.1）的Riemann问题的初值为如下形式