空间曲线积分与曲面积分的若干计算方法(2)
其中 是空间曲线 上的弧长微分.
1.1.2 性质
①线性性质
若在曲线 上有可积函数 ， ，那么它们的线性组合
也可积，并且有：
.
②可加性
若一条曲线 可截成两段曲线 和 ,且函数 在曲线 ， 上分别
可积，则在曲线 上也是可积的，那么有在整条曲线上的积分等于在各个子曲线上的积分和，即
.
同理，推广为有限段曲线也成立.
③保序性
设 ， 是曲线 上的可积函数，若
， ,
则有
1.1.3 计算方法
1）公式直接计算法
若三文空间曲线 由参数方程
给出,且 都有可积导数， 在曲线 上连续，则根据弧长微分公式，就可以把曲线积分（1）化成定积分：
其中 是空间曲线 的弧长微分，即
或
此解法要求先将曲线方程化为参数方程，然后套用以上公式求解.
例 1 在螺旋线 的一段弧上，求曲线积分 .
2）变换参数法
在给定的曲线方程不便于计算时，则采用变换参数法将曲线方程表示为其他形式的参数方程.必要时可作变量替换，转化成其他参数形式进行计算.
例 2 计算 ，其中 是椭球面 与平面 的交线在第一卦限中连接点 与点 的一段.
析 恰当选择 的参数方程是解题的关键.
解 由方程组 ，消去 ，即得到曲线 在 面的投影曲线
，
该曲线的参数方程为
将此参数方程代入 中，则得到 在第一卦限的参数方程为
又因为 所以
.
3）对称性解题法
根据第一型曲线积分的定义，当积分曲线与被积函数二者都有对称性时，第一型曲线积分有如下结论：
对于第一型曲线积分 ，当 可分割成两对称的部分 和 ,且对称点上函数值 大小相等，符号相反，则根据有向性知 和 上的积分相互抵消，故 上积分为零；如果对称点上函数值 大小相等且符号相同，则 和 上的积分相等， 上的积分为 （ ）上积分的两倍，故求 （ ）上积分即可.
4）坐标旋转变换法
首先经过坐标旋转，将问题转化为另一个与之等价的问题，再按常规的方法计算.
坐标系下的线积分 坐标系下的线积分：
写出参数方程 套公式 计算定积分.
在新坐标系下，曲线的参数方程更简单.故可以适当的转化问题，从而获得简单的参数方程.
例 3 求 ，其中 是球面 与平面 的交线.（图 1.1.4）
解 易求得平面 的单位法向量为 ，则它与 轴的夹角余弦为 .下面分两步进行旋转，先将 平面旋转，得到新坐标系 ；再将 平面旋转 ，得到新坐标系 .即
.
由旋转公式得
， ，
， .
于是 ，
，
.
在这组变换下，曲线 变为 与 ，故
1.2第二型曲线积分
1.2.1 定义
设 是空间一条可求长的有向曲线，且每点都有切线.用 表示在点 处与曲线同向的单位切向量.设在曲线 上有定义且连续的向量值函数 .如果下述积分存在：