摘要多元函数条件极值的充分条件问题常常采用求二阶微分的方法来解决，但该法有一定的弊端，比如计算量较大，在实际操作中比较麻烦.本文结合 乘数法，多元隐函数求导法以及条件极值化为无条件极值的方法，重新给出多元函数条件极值的若干种充分条件.在不同的题目中，选取更为合适的解题方法，在计算量方面就会有一定的改善，可行性就会有所提高.最后本文还给出了条件极值的应用问题，将条件极值的知识应用在证明不等式和解决实际问题当中.50773

毕业论文关键词：  条件极值  充分性  转化  

The Sufficiency and its Application of Conditional Extremum of Multivariate Function

Abstract

The sufficient condition of the extreme value of multivariate function is often solved by two order differential method, but this method has some disadvantages, such as large amount of calculation, and more trouble in practical. Combining Lagrange multiplier method, multiple implicit function derivation and changing conditional extreme value into unconditional extreme value method, this paper gives several sufficient conditions of the extreme value of multivariate function. In different topics, selecting the more appropriate method of solving problems, there will be some improvement in the amount of calculation and feasibility will be increased. At the end of this paper, the application of conditional extreme value is given, and the knowledge of conditional extreme value is applied to prove inequality and solve practical problems.

Key words: conditional extreme value  sufficiency  transform

目录

1引言 1

2 预备知识 1

3条件极值的应用 8

3.1用矩阵正定性判别稳定点 8

3.2用二阶微分符号法判别稳定点 9

3.3用矩阵正定性判别法的推论判别稳定点 11

3.4条件极值应用于证明不等式 14

3.5条件极值应用于实际 15

参考文献 15

致谢 16

1引言

在大学普通教材中，求解多元函数条件极值，大多采用 乘数法先求出稳定点，再二阶求导，求出黑塞矩阵,并通过黑塞矩阵的正定性和负定性来讨论是哪种极值点.但该法在实际操作中，随着变量和约束条件的增多，黑塞矩阵正定性和负定性的判别难度大大增加.目前，已有很多关于极值问题的文章，并且研究的比较透彻.论文[1]给出了等约束条件下多元函数条件极值的充分条件，并给予了证明；论文[2]推广了函数极值的矩阵判定定理，巧妙地将一个函数的极值问题拆分成为两个函数的极值问题，大大减少了判断极值的复杂程度；论文[3]讨论了有无穷多稳定点时，如何求解函数极值问题；文献[4]归纳总结了多种求解函数极值的方法；文献[5]用新的方法重新证明了多元函数条件极值的充分条件.本文归纳总结源!自`优尔'文"论/文`网[www.youerw.com了若干种不同情况下判断条件极值问题的方法，并将论文[2]中的定理推广到条件极值的问题，最后，应用以上几种充分条件解决几道经典例题.

2 预备知识

定理1[1]  若 , 在平面区域D上具有二阶连续偏导数， ，且 是 的稳定点，即 是方程组

 的解，若 则

(1) 若 正定， 是 在条件 下的极小值点；

(2) 若 负定， 是 在条件 下的极大值；