正文

一. 数形结合的历史演变及发展

1、 “数”、“形”的含义

数、形两字的含义十分的丰富，从广义上来说，“数”可以指代研究客观世界的工具——数学，那么“形”就为整个客观世界；从数学这门学科上来说，“数”与“形”是有层次性的，如果将“数”理解为代数学、分析学，那么“形”就是几何学。然而经过了这么多年的发展，数学已经不能简单地说是数量形式与空间关系的一门学科了。

那么现代数学是怎么诠释“数形”的呢？其实，“数形结合”中的“数形”的并不是十分严格的数学概念，华罗庚在归纳出该词的时候说：这是“几何”启发出“代数”，但“代数”的考虑又大大丰富了“几何”。由此可见，“数形结合”更多具有解决问题的性质，涉及了思维论、教学论、认知心理学、方法论等各领域。因此，对“数”与“形”的理解应该更加的多样化。“数”：数字文字表征，即数字、文字、式子、数学概念、数学结构、数学定理等；“形”：图形表征，即实物、图像、符号等 。

2、 数形结合的简史

随着时间的流逝，人类的文明不断的进步，数学的内容也不断地扩充着，尤其在17、18世纪数学飞速发展。

数与形是数学中的两大基本概念，数学也围绕着这两个概念不断地变化、发展。与此同时，这两大概念自身也不断地变化着。从最初计数而产生自然数，从最初的土地测量而产生的几何，发展成为研究代数系统的内在规律的现代数学，群论、拓扑学、计算机科学等数学分支相融合的现代几何学。数与形也在发展中经历了一个“合久必分，分久必合”的过程。

数的产生来源于计数，是对具体的物体的计数。在古代的计数法中，都是用具体的图形来表示抽象的数。例如

以及中国的算盘也是数形结合的一个典范。各种对于“形”的计算产生了“数”，而“数”又借助“形”来进行记录、使用、计算。

解决“形”的问题常常使用“数”作为工具，“数”的关系也可用“形”来证明。“形”的发展有力的促进了“数”的发展。例如无理数的发现：正方形的面积为2时，找不到一个整数边长与之对应。由此，导致了无理数的出现。

人类对数与形的统一认识有两次重大的飞跃。第一次是建立了数轴，把实数与数轴上的点一一对应起来，数可以看作点，点也能看成数。第二次是法国数学家笛卡尔的直角坐标系的建立，将有序的数对与平面上的点一一对应起来，从而使平面上的曲线与有序数对的二元方程的解集也一一对应起来。这样，就可以用代数方法来研究几何图形的性质，把几何图形研究转换为对应代数的研究。

由此可见，数学中两大基础研究对象“形”与“数”是矛盾统一的，正是由于这种矛盾统一促进了数学的发展。笛卡尔之后，“数”与“形”更加进一步结合。

3、 数形结合的概述

我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”数形结合主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合，不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种的思维方法，因此它在数学中占有重要的地位。