特殊变系数微分方程的解法
毕业论文关键词：变系数微分方程，可解类型，通解63154
Abstract: This article offers several methods of solving variable coefficient first order and second order liner differential equations, and discusses a kind of solvable type for variable coefficient first order and second order liner differential equations.
Keywords: variable coefficient differential equations, solvable type, general solutions
1 引言 4
2 一阶变系数微分方程的解法 4
2.1 几种特殊一阶变系数微分方程的解法 4
2.2 一阶变系数微分方程的一种可解类型 8
3 二阶变系数微分方程的解法 9
3.1 二阶变系数微分方程的一个可解类型 9
3.2 用降阶法求解二阶变系数微分方程 11
3.3 特殊二阶变系数微分方程的解法 13
参考文献 15
致谢 16
1 引言
微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关系的方程.微分方程的解是一个符合方程的函数.微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题.物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解.此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用.数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的方向，但大多数都是关心微分方程的解.
众所周知，所有的常系数一阶、二阶微分方程都是可解的，而变系数线性微分方程却很难找到一种普遍的方法.在探索求解的过程中，毛一波等人给出了一阶变系数高次微分方程的通解 ，姜嵛芃给出了特殊二阶变系数微分方程的通解或近似解的解法 ，张金战给出了求解二阶变系数微分方程的特解的方法 .
本文在文献[1-7]的基础上，对于一阶变系数微分方程,归纳几种特殊形式的一阶微分方程求解的一般步骤．对于二阶变系数线性微分方程，将给出一种可解类型，并归纳其解法，同时归纳降阶法求解的一般步骤，最后给出特殊二阶变系数微分方程的解法.
2 一阶变系数微分方程的解法
2.1 几种特殊一阶变系数微分方程的解法
一、对于一阶变系数微分方程
, (1)
其中 为连续函数.
若函数 ，则(1)式变为
. (2)
而(2)为可分离变量方程，其通解为
,
其中 为常数.
若函数 ，则(1)为一阶线性非齐次微分方程，其通解为
. (3)
归纳总结：在求解一阶变系数微分方程(1)式时，如 ，则对其进行变量分离，然后积分.如 ，则直接带进式(3)即可.
例1 求解方程
.
解 这显然是一个一阶线性非齐次微分方程。其中
,
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