1673年,Leibniz同样独立地求出了 、 和 等函数的无穷级数展开式 ,以及圆的面积、双曲线面积的具体展开式,并且将这些展开式与余割函数、反正切函数和正弦函数等联系起来。

Taylor将Gregory-Newton内插公式发展成一个把函数展开无穷级数的最有力的方法,由Gregory-Newton公式他推导出了Taylor定理 。他用该定理把函数展开成级数,得到了如正弦函数及余弦函数等的标准展开式,并用这一方法求出微分方程的解。Taylor是第一个发表此级数的数学家,但他并不是这探索道路上的第一人,在他之前,至少还有五位研究过此级数的数学家 ,分别是:James Gregory、Newton、Leibniz、John Bernoulli(1667-1748) 和Abraham de Moivre (1667-1754)。详尽内容参见文献《Brook Taylor and the Methods of Increments》。

1748年,Euler发表了一本名为《无穷小分析引论》的书,在书中,Euler提出了将三角量看作函数,将其视为一种与角相对应的函数值,即任意一个角的三角函数,都可将其视为,是以该角的顶点为圆心,某定长为半径作圆 ,角的一条边与圆周的交点为 ,过 点作角的另一边的垂线,垂足为点 ,得到 、 、 这三条线段,线段之间相互的比值即为三角函数值,这样的定义使得三角学不再仅仅只是研究解三角形,不再需要借助几何直观,而是可以脱离几何图形进行研究的学科,Euler给予了三角学一个非常科学的定义。

   本文所做的工作,即从幂级数出发给出三角函数的定义,对正弦函数和余弦函数的一些基本性质、公式进行了描述与证明,其中,重点讨论了三角函数幂级数的周期性,证明了 与 为周期函数,它们的周期为 ,并且估算出了 的值。找到了幂级数定义在三角函数研究中的两个应用。

2 正弦函数和余弦函数的幂级数定义

2.1级数与函数项级数

定义 :给定一个数列 ,对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式

                          

称为数项级数或无穷级数(也常简称级数),其中 称为数项级数 的通项。

设 是定义在数集 上的一个函数列,来.自/优尔论|文-网www.youerw.com/

表达式

                    

称为定义在 上的函数项级数,简记为 或 。

定理1 (达朗贝尔判别法,或称比式判别法)设 为正项级数,且存在某正整数 及常数  ,

(ⅰ)若对一切 ,成立不等式文献综述

 ,

则级数 收敛。

(ⅱ)若对一切 ,成立不等式

 ,

则级数 发散。

设若级数 各项绝对值所组成的级数 收敛,则称原级数 为绝对收敛。

定理2 (柯西定理)若级数  、 都绝对收敛,则对这两个级数中每一项所有可能的乘积 按任意顺序排列所得到的级数 也绝对收敛,则其和等于 。

定理3 (魏尔斯特拉斯判别法)设函数项级数 定义在数集 上, 为收敛的正项级数,若对一切 ,有

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