第二型曲面积分的解法探讨(2)
以曲面 的下侧为正侧时，则有
类似的若曲面 曲面
.
例1 计算 ，其中 是球面 在 部分并取球面外侧.
解 曲面 在第一,五卦限部分的方程分别为它们在 平面上的投影区域都是单位圆在第一象限部分.依题意，积分是沿 的上侧和 的下侧进行，所以 2.2 分面投影法
例2 计算积分 S是四面体
的表面，外法线是正向.
解 这是三个第二型曲面积分之和，首先计算第二型曲面积分 ，而曲面S是由四个有向的三角形区域：ABC(上)，AOB(下)，BOC(后)，COA(左)组成.其中BOC(后)与COA(左)在XY坐标面的面积微元 ，ABC（上），AOB（下）在XY坐标面的投影都是三角形区域 围成
从而 同理可得 ,于是 .
2.3 利用高斯公式计算第二型曲面积分
定理 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲 围成，函数
在 上具有一阶连续偏导数，则有公式
这里 取外侧曲面.
注： 高斯公式的实质表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲
面积分之间的关系，利用高斯公式计算曲面积分，根据条件可有以下两种方法：
(1)直接利用高斯公式
例3 计算 ，其中 具有连续导数， 为锥面 与两球面 所围立体 的表面取外侧.
解 由高斯公式:本题被积函数为抽象函数，用了高斯公式后，将其化为被积函数较为具体且常见的三重积分计算问题.
(2)如果函数 在 上不具有一阶连续偏导数，通过消除奇点，再利用高斯公式.
例4 计算曲面积分 ，其中 是椭球面 的外侧. .
解 则当 时
作球面 ，使 所包含的部分 包含在 所围的
域 内，且球面 的法向量指向球心,
则由高斯公式得：(3)如果函数 在 上不具有一阶连续偏导数，通过消除奇点，再利用高斯公式.
例5 计算曲面积分 ，其中 是椭球面 的外侧. .. 解 则当 时
作球面 ，使 所包含的部分 包含在 所围的区域 内，且球面 的法向量指向球心
由高斯公式得：2.4 利用区域对称性计算第二型曲面积分
定理 若积分曲面 关于 具有轮换对称性，则
例6 计算 其中 是球面 的外侧.解 由轮换对称性
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