大地问题正解与反解

从解析意义上看，大地问题的正解与反解，就是研究大地坐标与大地极坐标 相互变换的问题。

按大地线的长度，大地主题解算可分为短距离（小于 400km）、中距离（400～ 1000km）和长距离（大于 1000km）。短距离的大地主题解算，大多应用于传统 的国家一等三角测量中。中、长距离大地问题解算主要应用于洲际联测、导弹与 火箭发射、导航和宇宙航行等。

椭球面上的大地问题解算比平面坐标计算复杂的多，多年来大量数学家和测 量学家致力于大地问题解算的研究，并提出了 70 多种解算方法和公式。根据这 些不同解法的理论基础，可以归纳为以下四种：

（1）以大地线在大地坐标系中的微分方程为基础 直接在椭球面上进行积分运算。大地线微分方程

（1-1）式把大地线的长度S作为独立变量，将B，L，A，S联系在了一起。

沿P1点和P2点的大地线S积分，得：

 A2  − A1  ± 180︒ = P1 N dS

但是上述积分在初等函数中无法计算，难以求得精确值。所以需要进行趋近

解算，将上式积分进行变换。方法之一是运用勒让德级数，将其展开成大地线长

度S的升幂级数，再逐项计算以完成主题解算。高斯平均引数公式是这种解法的 代表。但是其解算精度与距离相关，距离越长，收敛越慢，所以只适用于较短的

距离。

(2) 以白塞尔大地投影为基础 地球椭球的形状与圆球相似，所以在球面上进行大地主题解算可利用球面三

角学函数。将椭球面上的大地线投影到球面上为大圆弧，大地线上的点与大圆弧

上相应的点一致，就实现了大地投影。如果解决了大地线上某点的数值B、L、A、S 和球面大圆弧对应的数值ϕ、λ、α、σ的关系，下式的微分方程就能实现：

由此可以得到大地主题解算的步骤：

①由椭球面上已知值计算球面上相应值，即实现从椭球过渡到圆球；

②在球面上解算大地问题；

③由球面上得到的值计算椭球面上的相应值，即实现从圆球过渡到椭球。

计算公式展开e2或e︐2的幂级数，解算精度与距离的长短无关。因此，解算 短距离和长距离问题都能适用。依据白塞尔的解法可以派生出各种公式，有的是

直接解法，有的是逐渐趋近的解法。这些公式大多可以适应 2 万公里或更长的距 离，这对于国际联测，精密导航远程导弹发射，导航和宇宙航行等具有重要意义。

（3）对大地线微分方程进行数值积分的解法 这种解法不采用辅助面或运用勒让德级数，而是直接对（1-2）式进行数值论文网

积分计算。常用的方法有高斯法，牛顿法，龙格—库塔法以及契巴雪夫法。这种 解法便于程序的编写，而且适用于任意距离。但是，这种方法随着距离的增长， 计算量增大且精度降低，在近极地区几乎无法使用。

（4）依据大地线外的其他线为基础 除大地线外，还有其他一些线连接椭球面两点，比如弦线、法截线等。这种

大地主题解算实质是三维大地测量问题。运用该方法进行三边测量的大地主题解 算有其优点。但是，解算结果还应加上归化至大地线的改正，比较麻烦，所以应 用得较少。

2 白塞尔大地主题解算公式推导

白塞尔大地主题解算的基本思想是：先将椭球面上的大地主题元素按照白塞 尔投影条件投影到辅助球面上，再在辅助球面上进行解算，最后再将球面上的计 算结果换算到椭球面上。找出椭球面上的大地元素与球面上相应元素的关系是这 种方法的关键；同时还要在球面上进行大地主题解算。