随着现代信息技术的发展，出现了许多信息安全问题，但是不动点在密码学的应用却鲜少出现。密码体制中的不动点意味着密文和明文相同，有巨大的安全风险，因此研究密码学中的不动点对现代信息安全有着较高的应用价值。

第一章 不动点定理的基本简介

在介绍不动点定理的应用之前，首先回顾几个与不动点定理相关的重要概念。Banach压缩映射定理是泛函分析的内容之一，它涉及了度量空间、完备等相关概念。

第1节 完备度量空间

完备度量空间与柯西点列有密切的关系，因此首先回顾度量空间中的柯西点列的定义。

定义 设X=(X,d)是度量空间，{x_n} 是X中的点列，如果对任意给定的正数ε>0，存在正整数N=N(ε),当m,n>N 时，有

d(x_n,x_m )<ε，

则称 {x_n } 是X中的柯西点列或基本点列。

下面给出完备度量空间的定义。

定义 如果度量空间(X,d)中每个柯西点列都在(X,d)中收敛，那么称(X,d)是完备的度量空间。 

由完备度量空间的定义，立即可知有理数全体按绝对值距离构成的空间不完备，但n维欧式空间R^n则是完备的度量空间。

令C表示所有收敛的实（或复）数列全体，对C中任意两点x=(ξ_1,ξ_2,⋯)，y=(η_1,η_2,⋯)，令

d(x,y)=sup┬j⁡|ξ_j-η_j |

可证C是完备的度量空间。

第2节 压缩映射定理

定义 设X是度量空间，T是X到X中的映射，如果存在一个数α，0<α<1，使得对所有的x,y∈X

d(Tx,Ty)≤αd(x,y)，

则称T是压缩映射。

压缩映射定理 设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映射，那么T有且只有一个不动点（也就是说，方程Tx=x，有且只有一个解）

证明 设x_0是X中任意一点。令x_1=Tx_0，x_2=Tx_1=T^2 x_0，⋯，x_n=Tx_(n-1)=T^n x_0，⋯。 我们证明点列{x_0}是X中柯西点列。

d(x_(m+1),x_m )=d(〖Tx〗_m,x_(m-1) )≤αd(x_m,x_(m-1) )

=αd(〖Tx〗_(m-1),x_(m-2) )≤α^2 d(x_(m-1),x_(m-2) ) 

≤⋯≤α^m d(x_1,x_0 )

由三点不等式，当n>m时，

d(x_m,x_n )≤d(x_m,x_(m+1) )+d(x_(m+1),x_(m+2) )+⋯+d(x_(n-1),x_n )

≤(α^m+α^(m-1)+⋯+α^(n-1))d(x_0,x_1 ) 

因0<a<1，所以1-a^(n-m)<1，于是得到d(x_m,x_n )≤a^m/(1-a) d(x_1,x_0 )       (n>m)

所以当m→∞,n→∞时，d(x_m,x_n )→0，即{x_0}是X中柯西点列，若X完备，存在x∈X，使x_m→x(m→∞)，又由三点不等式，有

d(x,Tx)≤d(x,x_m )+d(x_m,Tx) 

≤d(x,x_m )+ad(x_(m-1),x)

上面不等式右端当m→∞时趋于0，所以d(x,Tx)=0，即x=Tx。

下证唯一性。如果又有x ̃∈X，使Tx ̃=x ̃，则有文献综述

d(x,x ̃ )=d(Tx,Tx ̃ )≤ad(x,x ̃ )

因为a<1，所以必有d(x,x ̃ )=0,，即x=x ̃。证毕。压缩映射定理的证明中，证明{x_0}是X中柯西点列的方法，在后文中也会时常运用。

第二章 不动点定理证明方程解的存在唯一性

第一章介绍了不动点定理，包括压缩映射定理以及定理所涉及的一些基本概念，而不动点定理以其高度的抽象性和概括性，成为了证明许多有关存在唯一性的定理的有力工具。

下面将着重利用压缩映射定理，讨论代数方程、微分方程的解的存在唯一性，同时证明了三种存在不动点的充分条件。