第1节 解线性方程组

解线性方程组是高等代数的重要内容之一，对解决实际问题有着广泛的应用。而在高等代数学的学习过程中，通常是利用矩阵的秩来判断一般线性方程组的解的个数。

定理2。1 设有n个未知数m个方程式组成的线性方程组：

{█(a_11 x_1+a_12 x_2+⋯+a_1n x_n=b_1，@a_21 x_1+a_22 x_2+⋯+a_2n x_n=b_2，@⋯⋯⋯⋯@a_m1 x_1+a_m2 x_2+⋯+a_mn x_n=b_m，)┤

它的系数矩阵记为A，增广矩阵记为A ̃，即

A ̃=(█(a_11@a_21 )¦█(⋯@a_m1 )  █(a_12@a_22 )¦█(⋯@a_m2 )  █(⋯@⋯)¦█(⋯@⋯)  █(a_1n@a_2n )¦█(⋯@a_mn )  █(b_1@b_2 )¦█(⋯@b_m ))，

则有下列结论：

若A ̃与A的秩都等于n，则该方程组有且只有唯一一组解；

若A ̃与A的秩相等但小于n，即r(A ̃ )=r(A)<n，则该方程组有无穷多组解；

若A ̃与A的秩不相等，则该方程组无解。

由于不动点定理是证明存在唯一性的有力工具，利用它必定能找到满足某些特定条件的线性方程组有且只有唯一一组解。

定理2。2 对于线性方程组AX=B，设X=〖(x_1,x_2,⋯,x_n)〗^T，B=〖(b_1,b,⋯,b_n)〗^T，A=〖(a_ij)〗_(n×n)为n阶方阵，其中a_ij (i=1,2,3,⋯,n,j=1,2,3,⋯,n)是实数，且A满足：

∑_(i,j=1)^n▒(a_ij-ξ_ij )^2 <1，

其中ξ_ij={█(1，i=j@0，i≠j)┤，则对任意矩阵B，有唯一一组解X^*。

证明 向量η=〖(x_1,x_2,⋯,x_n)〗^T∈R^n，构造映射T：

T(η)=η-Aη+B来*自-优=尔,论:文+网www.youerw.com

有T(η)∈R^n，即T是R^n到R^n中的映射。

现证T是压缩映射。任取η_(i,) η_j∈R^n，则

d(T(η_i),T〖(η〗_j))=|T(η_i)-T(η_(j)) | 

=|(η_i-Aη_i+B)-(η_j-〖Aη〗_j+B)| 

=|(E-A)(η_i-η_j )|=√(∑_(i,j=1)^n▒(a_ij-ξ_ij )^2 ) |(η_i-η_j )|

由于0<∑_(i,j=1)^n▒(a_ij-ξ_ij )^2 <1，所以T是R^n到R^n的压缩映射，且R^n是完备的度量空间，根据压缩映射定理，存在唯一的不动点η^*∈R^n，使〖T(η〗^*)=η^*，即η^*=η^*-Aη^*+B，〖Aη〗^*=B。

(█(a_11@a_21 )¦█(⋯@a_m1 )  █(a_12@a_22 )¦█(⋯@a_m2 )  █(⋯@⋯)¦█(⋯@⋯)  █(a_1n@a_2n )¦█(⋯@a_mn )) η^*=(█(b_1@b_2 )¦█(⋯@b_m ))

定理2。3 C,D是n阶方阵，线性方程组x=Cx+D满足

∑_(j=1)^n▒〖|C_ij |<1〗(i=1,2,3,⋯,n)

时，有唯一解。

证明 向量x=〖(x_1,x_2,⋯,x_n)〗^T∈R^n，定义

‖x‖=max┬(1≤i≤n)⁡|x_i |

按该定义下的距离所成的度量空间，是完备度量空间。

构造映射T: T(x)=Cx+D,x∈X，可知T是X到X的映射。