在期权的到期日期权的价值V_T 是确定的，他就是期权的权益

期权定价就是在求期权生效日t=0,若股价为  ，求它的期权价值。因此期权定价问题是一个倒向问题[3]。

隐含二叉树法

下面我们来了解一下二叉树在期权定价中是如何应用的？而首先我们来介绍一下传统的二叉树模型。

2。3。1 经典二叉树模型

我们知道B-S模型中股价波动的假设特别严格, 而且它没有考虑股息的问题，所以Cox、Ross和Robinstein就设计了一种二叉树方法。通过这种方法他们解决了股价波动和股息问题。下面我们就来介绍一下他们设计的二叉树模型[11]。 

（1） 模型假设

A）假设股价的变化过程是随机过程，并且股价服从二项分布，即把期权有效时间分为N段相等时间段，在每个时间段结束时股价都将上升或下降一定的量。

B）假设每时每刻投资者都存在交易的机会，并且期权价格与投资者的偏好没有关系[11]。

（2） 模型的思路

在期权有效时间段中有无数个小的相同时间段∆t, 假设在每个小的时间段内股价都有可能上升或者下降一定的量。假设期权的当前价格为f_0 ， u>1,d<1 ,S_0上升到S_0 u，对应期权价值为f_u 。S_0下降到S_0 d，对应期权价值为f_d 。价格上升的概率为P，那么下降的概率就应该是为1-P。当时间t为0时，股价s0，时间为∆t时，股价可能为S_0 u 和S_0 d，时间为2∆t时，股票价格可能为S_0 u^2 、S_0 ud 和S_0 d^2 。

以此类推在第i段时间段i∆t时，股价有i+1种可能： S_0 u^j d^(i-j),j=0,1,2,…,i。

假设T时刻期权价格是已知的，我们就可以从二叉树的末端向前倒推。例如S_T 是T时刻的股价，K是执行价格。时间为  时每个节点上的期权价值都可以用T时刻期权价值期望以无风险利率r贴现得到，同样  时刻的每个节点的价值可以由  时刻的期权价值的期望值以利率r进行贴现得到，如此类推，我们就可以得到初始时刻期权的价值。这就是二叉树定价的基本思路。而对于美式期权来说，我们要考虑能不能提前执行的情况，这样我们就要对二叉树的每个节点进行检查了。文献综述

因为股票价格的变动服从的是正态分布，我们可以得到：

其中：r为无风险利率，σ代表波动率，  为期权有效时间间隔，u指二叉树图中价格上升的幅度，d指二叉树图中价格下降的幅度。

对于单步二叉树而言，我们可以考虑一种组合：

接下来我们计算该组合的∆值。当股票价格上升时，到期时该组合的价值为S_0 u∆-f_u。反之，组合价值则是S_0 d∆-f_d 。

由于T时刻末的价值是确定的，在这两种状况下组合的价值相等：

因贴现后的现值与成本相等，故有 

即将（2。4）代入（2。5）就可以得到期权初始时刻的价值

而对于多步二叉树而言，假设初始股价为S_0 无风险利率为r，每个单步二叉树的时间长度为  年，这样我们有式（2。6）和（2。7）可得到

再次递归式（2。8）可得到

整理得到

                                （2。13）

这样我们就得到了两步二叉树的定价情况[11]。

（3） 美式期权的二叉树模型

通常来说，与欧式期权相比，美式期权是有优势的，因为美式期权可以在到期日之前执行，所以美式期权要从二叉树终端倒推计算初始期权价值，判断各个节点是否能够提前执行。又因到期时的美式期权与欧式期权的价值是相等的。所以，通常我们会选择两种价值中较大的来作为我们所要求解的期权价值。他们分别可以用以下方式表述：