, t ,, t

为方程组 A X 0 的基

1 1 1

1 1 23 r1 1

础解系；设 A2 为 m2  n 矩阵，A2 的秩  n  r2 n ,且 k1 , k2 , k3 ,, kr 为齐次线性方程组 A2 X 0

的基础解系。那么，齐次线性方程组 A1 X 0 与 A2 X 0 有非零公共解的充分必要条件是向量组

t1 , t2 , t3 ,, tr , k1 , k2 , k3 ,, kr

线性相关。

1 2

证明 充分性 若已知向量组 t1 , t2 , t3 ,, tr , k1 , k2 , k3 ,, kr

线性相关，即存在不全为零

的实数 a , a , a ,, a

, b , b , b ,, b

1 2

, 使得

1 2 3

r1 1 2 3 r2

a ta t

 a t

a t

 b k

 b k

 b k

b k

0,

1 1 22 3 3

r1r1

11 2 2 3 3

r2 r2

则此时 a1 , a2 , a3 ,, ar不全为零，（否则有 b k

 b k

b k

0 ，而 k , k

,, k为方

1 11 2 2

r2 r2

1 2 r2

程组 A2 X 0 的基础解系，因此 k1 , k2 , k3 ,, kr

线性无关，于是有 b1 , b2 , b3 ,, br

全为零，

这与条件矛盾）。同理我们可以推断出 b1 , b2 , b3 ,, br

也不全为零。 于是

a ta t

a t

b k

 b k

bk ,

1 1 22

r1r1

11 2 2

r2 r2

令a1t1

 a2t2

a t

11

, 0, 易得是方程组 A1 X 0 的一个非零解，且

b1k1 b2 k2 brkr是方程组 A2 X 0 的一个非零解，因此方程组 A1 X 0 与方程组

A2 X 0 有非零公共解。

必要性 若已知线性方程组 A1 X 0 与方程组 A2 X 0 有非零公共解，不妨设≠0 是方 程组 A1 X 0 与方程组 A2 X 0 的非零公共解，即有方程组 A10 与方程组 A20 。对于， 存在不全为零的数 a1 , a2 ,, ar满足

a1t1a2t2 ar tr ①，

同时存在不全为零的数 b1 , b2 ,, br 满足

b1k1 b2 k2 brkr ②，

又①=②，由此可得:存在不全为零的数 a1 , a2 ,, ar , b1 , b2 ,, br

使得，