摘 要：微分中值定理是微分学的基本定理，是应用导数的局部性质研究函数整体性质的重要工具。 本文将主要介绍应用数学微分中值定理的一些常见题型的解题方法，在定点问题、根的存在性、不等式的成立、求极限上赋予新的思想。73634

毕业论文关键词： 微分中值定理,导数,定点问题,根的存在性

Abstract：Differential mean value theorem is the fundamental theorem of differential calculus, and it is an important tool to study the global properties of functions by using the local properties of the derivatives。 This paper will mainly introduce the problem solving strategies of some types of mathematics problems which apply the differential mean value theorem, and will give new ideas on the fixed problem, the existence of the roots, the establishment of the inequality and the limit problem。

Keywords：Differential mean value theorem, Derivation, Fixed problem,Existence of roots

目   录

1 前言 4

2 微分中值定理的应用 6

参考文献 12

1 前言

   微分中值定理建立了函数与导数间的关系,其中构造辅助函数是解决微分中值定理证明问题中的关键,恰恰也是困难所在,所以熟练掌握部分构造法及其几种常用的题型可大大促进解题能力与发散性思维。文[2]中主要介绍了根的存在性的相应例题以及解题思路,文[3]与文[4]中介绍了求极限的相应例题以及解题思路。下面介绍几个主要的微分中值定理：

定理1。1 （Rolle中值定理)  若函数 满足如下条件：

（1） 在闭区间 上连续；

（2） 在开区间 上可导；

（3） ；

那么 上至少存在一点 ,使得 。

注1：定理中的三个条件缺一不可！

注2：Rolle中值定理的几何意义（如图1）：在每一点都可导的一段连续曲线上,如果曲线的两端点高度相等,则至少存在一条水平切线。

图1。 Rolle中值定理的几何意义

定理1。2 （Lagrange中值定理)  若函数 满足如下条件：

（1） 在闭区间 上连续；论文网

（2） 在开区间 上可导；

则在 上至少存在一点 ,使得

注1：特别地,当 时,本定理的结论即为Rolle中值定理的结论。这表明Rolle中值定理是Lagrange中值定理的一种特殊情形。

注2：Lagrange中值定理的几何意义（如图2）：在满足条件的曲线 上至少存在一点 ,该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB。

图2。 Lagrange中值定理的几何意义

定理1。3 （Cauchy中值定理）  设函数 和 满足：

（1）在闭区间 上都连续；

（2）在开区间 上都可导；

（3） 和 不同时为零；

（4） ；

则存在 ,使得

注1：Cauchy中值定理的几何意义（如图3）：把 , 这两个函数写作以 为参量的参量方程

在 平面上表示一段曲线,上述切线与弦AB互相平行。Cauchy中值定理的几何意义

2 微分中值定理的应用来*自-优=尔,论:文+网www.youerw.com

2。1 “定点”问题

例1  一阶导数 在 上连续, 上可导, ,求证：                   

  分析：结论变形为 

  证明  作辅助函数