下证  是唯一的,运用反证法。假设还有 也属于所有的闭区间,从而对任意的 ,有 ,有 。

    根据极限的不等式性质有 ,与条件矛盾,所以 是唯一的。

    由上述容易推得如下很有用的区间套性质:

    推论1[3] 若 是区间套 所确定的点,则对任给的 ,存在 ,使得当 时有

 。

注1 区间套定理中要求各个区间都是闭区间,才能保证定理结论成立。

下面给出区间套定理的若干推广。

    定理2[4](闭域套定理) 设 是 中的闭域列,它满足:

则存在唯一的点 。

    注2 这里的 是指平面点集的直径。

    定理3(开区间套定理) 若开区间列 ,满足

则存在 ,使得 。

证 根据条件(1)和(2),由闭区间套定理显然有结论 ,且

显然与闭区间套定理比较,由于开区间列的构成结构,开区间套定理只能保证 点的存在性,不能保证 。

例如开区间列 和 均满足开区间套定理的条件,但 , 。

特别的,对于开区间列 或 ,结论为 或 。

要保证 的存在区间,只需要开区间套定理的条件(1)加强既可以得到:

推论2 若开区间列 满足:

则存在 ,使得

证 考虑闭区间列 ,由条件(1),(2),可知 满足闭区间套定理的条件,故存在 ,使得 ,且 ,又由条件(1) ,所以 。

    定理4(半开半闭区间套定理) 若半开半闭区间列 满足:

   (1) 有    (2) ,

则存在 使得

    同理可得,半开半闭区间列 在相应条件下,具有类似结论。

    闭区间套定理在一般度量空间上的推广

    完备度量空间具有正定性,对称性,三角不等式性和完备性。具体到序列,指的是该序列除了满足一般度量空间的要求,还应在该空间上收敛.这样闭区间套定理就可以在一般度量空间上进行推广。

    定义2[5] 设 是一个非空集合,在 上定义一个双变量的实值函数 ,对任意的 ,有:

   (1)(正定性) ,并且 =0当且仅当 成立;

   (2)(对称性) ;

   (3)(三角不等式) ;

则称 为一个度量空间。

    定义3 设 是度量空间 中的一个子集,对于 中的任意点列 ,若当 ,有 ,则称 为闭集。

    定义4 如果对度量空间 中 的每一个 序列都收敛,则称 是一个完备度量空间。

    定理5 设 是完备度量空间 上的闭集列,如果满足:文献综述

   (1) ;

   (2) ,

则在 中存在唯一一个点 ,使得 。

    证 任意 中的点列 ,当 时,有 ,所以

 。

即对于任意给定的实数 ,存在整数 ,使得当 时,有 ,所以 是 序列,又因为 是闭集列,故 收敛于一点 ,且有

 。

    下证唯一性,如果另有一点 ,使得 则由定义有

 。

从而得到 ,故在 中存在唯一一点 ,使得: 。

3 闭区间套定理及其推广的应用

    例1[6] 用区间套定理证明连续函数根的存在性定理。

    证 设 在区间 上连续, ,并且记 。令 ,如果 ,结论已经成立,故可以设 。那么 与 有一个小于零,不妨设 ,记 。再令 ,如果 ,结论已经成立,故同样可设 。那么 在 与 这两个区间中的某一个区间上端点值异号,并记这个区间为 。将这个过程无限重复下去,就得到一列闭区间 ,满足:

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