由（1）和（2）可知 是一个区间套，由区间套定理得知，存在来*自-优=尔,论:文+网www.youerw.com

且有    因为 在点 连续，所以由（3）得

 ，

则必有 。显然 ，它就是 的一个零点。

    例2（用闭域套定理来证明聚点定理） 设 为有界无限点集，则 在 中至少有一个聚点。

    证 由于 是平面有界集合，因此存在一个闭正方形 包含它。连接正方形对边中点，把 分成四个小的闭正方形，则在这四个小闭正方形中，至少有一个小闭正方形含有 中无限多个点。记这个小闭正方形为 。再对正方形 如上法分成四个更小的闭正方形，其中又至少有一个小闭正方形含有 的无限多个点。如此下去得到一个闭正方形序列

 ,

容易看到这个闭正方形序列 的边长随着 趋向于无限而趋向于零。于是由闭域套定理，存在一点 。

    现在证明 就是 的聚点。任取 的 领域 ，当 充分大之后，正方形的边长可小于 ，即有 。又由 的取法知道 中含有 的无限多个点，这就表明 是 的聚点。