摘要：极限的概念是数学分析中最基本的概念之一，也是高等数学中的一个最重要的理论部分，本文总结上、下极限的概念和上、下极限的保序性、保不等式性、以及在四则运算中的一些性质,举例给出了上、下极限在极限运算以及后续教程中的作用。74375

毕业论文关键词：上极限，下极限，数列

Abstract：The concept of limit is one of the most basic concepts in mathematical analysis。 It is also one of the most important theories of higher mathematics。 This paper summarizes the concept of the limit superior and the limit inferior, as well as its isotonity, the property of keep the inequality, and some properties when it is applied in arithmetic。 The paper also illustrates the function of the limit superior and the limit inferior in the limit operation and the subsequent tutorial。

Keywords： on the limit, the limit , series

目录

1 前言 5

2 函数上、下极限的概念 5

3 函数上、下极限的性质 5

4 函数上、下极限的应用 7

4。1函数上、下极限在极限运算中的应用 7

4。2函数上、下极限在后续教程中的应用 8

4。3 函数上、下极限在数列敛散性中的应用 10

结  论 12

参 考 文 献 13

致  谢 14

1 前言

极限的概念可以追溯到魏晋时期的数学家首创的“割圆术”，设有一半径为1的圆在只知道直边形的面积计算方法的情况下，要计算其面积。为此，他先作圆的内接正六边形，其面积记为 ，再作内接正十二边形，其面积记为 ，内接二十四边形的面积记为 ，如此将边数加倍，当 无限增大时 无限接近于圆面积，他计算到3072=6*2的9次方边形，利用不等式 +1< < +2[( +1)- ]( =1，2，3。。。)得到圆周率为3927/1250约等于3。14159265。。。。。。本文介绍了函数上、下极限的概念和上、下极限的保序性、保不等式性、以及在四则运算中的一些性质,举例给出了上、下极限在极限运算以及后续教程中的作用。

2 函数上、下极限的概念

设函数 大于某一正数时有定义，若存在常数 ，对于任意ε>0，总存在正整数 ，使得当 > 时， <ε成立，那么称 A是函数 在无穷大处的极限。

与数列情形类似,可以证明子极限必有最大者 与最小者 ,分别称作上极限与下极限记为 以及 。同样有 存在且仅当 

定义1 设 是一个实数，若对 ,有无穷多个 使得 ,同时至多有有限个 使得 ,数 称为数列 的上极限,记作 。 若对 ,有无穷多个 可以使得 ,同时至多有有限个 使得 ,数 称为数列 的下极限,记作                      。

3 函数上、下极限的性质文献综述

    性质1 （保序性）： 

    性质2（控制性质）： 若 为 的子列,则有 

    性质3  (保不等式性)：设数列 和 是两个有界数列且有 ,使当 时,有 则 , 。

注1 若 有 (常数),则有 ;若 有 ,则有 。

注2 若 为常数,又存在 ,时有 则 。）

    性质4（符号性质）  , 。

性质5（符号性质）（1）若 ,则 , 。

                 （2）若 ,则 , 。