(二)求解方法多样

求极限的题目类型广泛,而求极限的方法非常多样,方法灵活多变技巧性强。常用的方法就有很多,例如利用夹逼法则求极限,利用洛必达法则求极限,等价无穷小量代换求极限等等。不同的方法适用的情况不同,并且有许多方法存在运用时需要特别注意的问题或使用误区。往往两个问题的模式相似,却不能生搬硬套,照搬将解题方法迁移使用。当不符合适用的范围时,即使看起来完全相似的题目,解决的方法却大不相同。同时,同一个问题往往有多种方法可以解决,有些方法显得思路清晰,有些方法显得中规中矩却大大增加了复杂程度,有些方法则是巧妙有新意,如何选择最便捷的解决方法也值得思考。所以应当对求极限的方法进行综合的总结思考以及归纳探讨,深入理解求极限问题,掌握各类方法与技巧。这样才能深入掌握各个方法的精髓,正确又快速的解决求极限的问题。

二、求极限的常用方法及举例说明

(一)利用定义证明极限

利用定义多适用于验证某个结果是否为所求的极限,往往不能直接求得极限。平常一般很少会用定义来直接求解极限,同时,该方法在某些情况下,例如在字母较多的情况下,并不一定是最优最简便快速的方法,在后文会提到某类可以用定义法来验证,但是用其他方法可以更加方便的解决。有时也会涉及到放缩的问题,而适当的放大与缩小需要一定的技巧。

1。数列极限

我们引入数列极限的定义,然后用定义可以证明许多求极限问题。

定义1[1]:设 为数列, 为定数。若对任给的正数 ,总存在正整数 ,使得当 时有

则称数列 收敛于 ,并记作

例1:考虑数列 ,这里 为大于 的任何常数,证明

解:记 ,

则 二项展开

 ,

可得不等式

对于任意给定的正数 ,由不等式

可解得 ,故 可取 。

例2:证明:

解:由

对任意给定的正数 ,只要

便有

即当 时,上式成立。又由于是在 的条件下成立的,故应取

2。函数极限

下面我们先引入函数极限的概念,然后再利用定义解决问题。

定义2[1]: 为定数,若对任给的 ,存在正数 ,使得当 时总有

则称函数 当 趋于 时以 为极限,记作

 为定数,若对任给的 ,存在正数 ,使得当 时总有

则称函数 当 趋于 时以 为极限,记作

例3:证明:

解:

即要找到一个正数 ,使得对任给的正数 ,得当 时有

要满足以上条件,反解出 的范围即

那么当 取 时就能保证对任给的正数 ,当 时有

也就证明了 的结果为 。

例4:证明

解:任意 ,

等价于

不等式左半部分显然成立,因此只需关注右半部分,先限制 ,则有

故对任意给的正数 ,只须取 ,则当 时,

成立。

函数极限还有以下的定义形式。

定义3[1]:(函数极限的 定义)设函数在点的某个空心邻域 内有定义, 为定数,若对任给的 ,存在正数 ,使得当 时有

则称函数 当 趋于 时以 为极限,记作

例5:证明

解:即要找到 ,使得当 时,

左端为

考虑 的某一邻域 ,即 , ,于是

那么当 时,上式右端就小于 ,故取 

这时当 时,就有  。

(二)利用夹逼准则求极限

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