夹逼法不仅可以用于证明判断极限是否存在,也能用这个方法来求得极限。关键在于找到夹逼两端的函数或数列,这通常涉及到放大与缩小的技巧,不能过分的放大或缩小。在涉及到取整号,阶层等情况时,运用夹逼法能很好的解决问题。首先,将先给出在求数列和函数极限时夹逼定理的具体内容如下。

1。数列极限

定理1[2]:数列 , , ,若存在正整数 ,当 时,有 ,且 

则有推论:若存在一正整数 ,当 时,有 或者 ,且

则有例6:求极限

解:记 ,则

2。函数极限

定理2[1]:若在某 内有

综上,可得

(三)利用单调有界必有极限准则与极限运算法则求极限

单调有界定理可以用来判别极限存在与否,仅仅能够判断出极限是不是存在,进一步的求出具体的值还需要联合运用极限的运算来求解。但是该方法运用的范围也是有限的,既要求数列单调又需要有界,但是有些数列并不是单纯的单调递增或递减。如果某个数列是单调递增的,那么只需要证明有上界,若是单调递减的,则只需证有下界

一般可以总结为三步来求极限,第一步判断是否单调,第二步证明是否为有界量,根据第一第二两步则可以确定极限存在,最后结合极限的运算法则求极限,设所求极限为 ,求解关于 的方程。

定理3[2]:单调有界数列必有极限

例8:证明数列 , 的极限存在,并求其值。

解:显然可见 是单调递增的,下面证明 具有上界

即 有上界 ,按照单调有界定理可知 极限存在。

进一步利用极限运算法求极限值,设

根据 ,知 ,令 ,得

解之,得 

例9:设 满足: ,求 

解:根据已知条件可知

由此可知 ,即 有上界

再由已知条件可得

可知, 单调递增,故 。

进一步利用极限运算法求极限值,设

两端取极限,可得

由 的递增性可知,

(四)利用无穷小量相关方法求极限

等价无穷小量替换是求极限时最常用的方法技巧之一,可以帮助简化问题,高效的得出极限。需要注意的是,等价无穷小的替换不能随意的在和差项中进行。事实上,也不是所有相加相减的项都不可以进行等价无穷小的替换,在一定的条件下仍有部分可行的情况。文献综述

除了等价替换之外,利用无穷小量的性质也可以解决问题,当无穷小量与有界量相乘时,可以直接得出相乘后的数列为无穷小量,无穷小量与无穷小量相加,相减或是相乘结果仍为无穷小量。

1。利用等价无穷小量替换求极限

定义4[1]:(数列)当数列以零为极限时,这种数列称为无穷小量

(函数)设 在某 内有定义,若

则称 为当 时的无穷小量。

类似地有,当 , , , 以及 时的无穷小量。

定义5[2]:设 和 都是无穷小量,它们可以是函数也可以是数列。

当 时,称 和 是等价无穷小量,记为 。

常用的无穷小量等价替换有

当 时, 

例10:求极限

解:由于当 时, , ,所以

例11:求极限解:

需要特别注意在和差项的部分中不能随意用等价无穷小量替换,如例题12的情况就不能直接替换。

例12:求极限

解:如若在和差项 中直接用等价无穷小量替换则分母化为 ,得出极限为零的结论。这样的做法是错误的。虽然当 时, ,同时 没有错,但是 与 不等价。碰到这样的情况,其实只要稍作变换,将和差形式化为乘积形式即可。来*自~优|尔^论:文+网www.youerw.com +QQ752018766*

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