本文将对不动点理论进行研究讨论,给出应用不动点理论简便解题的结论.本文先是介绍了不动点的定义以及对于不动点理论的理解和证明。 然后,从数列方面对涉及到不动点理论的部分进行探索和研究。 这其中主要包括:求解递推数列的通项公式、判断数列的有界性、单调性、收敛性和求数列极限问题等。 许多例题都是选自高考题和高等数学中的题目。 不动点理论在很多的解题步骤以及数学问题中都有很大的帮助。 熟练地掌握不动点理论和应用,可以使我们用更为简便的方法解决这一复杂问题。

2  不动点定理

2。1  不动点及相关概念

  定义2。1[1]不动点:函数的不动点,在数学中是指被这个函数映射到其自身的一个点,即函数 的取值过程中,如果有 ,使 .就称 为 的一个不动点.

  对此定义,有两方面的理解:

  ⑴代数意义:若方程 有实数根 ,则 有不动点 .

  ⑵几何意义:若函数 与 有交点 ,则 为 的不动点.

定义2。2[4]  度量空间:设 是一个集合, .如果对于任何 ,有

(1)(正定性) ,并且 当且仅当 ;

(2)(对称性) ;

(3)(三角不等式) ;

则称 是集合 的一个度量,偶对 是一个度量空间.

定义2。3[4]  不动点:对于度量空间 及 的映射 ,如果存在 使 ,则称 为映射 的不动点. 

定义2。4[4]  压缩映射:给定 ,如果对于映射 存在常数 , ,使得对有所的 ,成立 ,则称 是一个压缩映射.

2。2  不动点定理及其证明

定理2。1[5]  Banach不动点理论:设 是一个完备的度量空间, 是 到其自身的一个压缩映射,那么 在 中存在唯一的不动点.

证明:首先,证明 存在不动点,

取定 以递推形式 ,确定一序列 是Cauchy列.

事实上,由

任取自然数 ,不妨设 ,那么

从而知 是一个Canchy列,故存在 ,使 且 是 的不动点.

因为 

故 ,即 ,所以 是 的不动点.

其次,下证不动点的唯一性,

设 有两个不动点 ,那么由 及 ,有

设 ,则 ,得到矛盾,从而 ,唯一性证毕.

定理2。2[5]  推论:设 是n维欧式空间中的有界闭集, 是 的映射,且满足条件:对任意 ,有 ,则映射 在 中存在唯一不动点.

 证明:在 上定义 ,

因为

由于 是连续映射,又由于 是有界闭集合,所以存在最小值,

即 ,使得 .

    现证明 ,用反证法.

如何 ,即 ,设 ,则 ,

所以

 ,

与 是最小值相矛盾,所以 ,也即 .

下证唯一性.

若 是 的另一个不定点,

     ,

与条件相矛盾,故原命题得证.

3  不动点定理在数列中的若干应用

3。1  求递推数列的通项公式

定义3。1[6]  不动点法:利用递推数列的不动点,可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列,这种方法称为不动点法[6].

定理3。1[7]  若数列 满足 ,且 是函数 的不动点,则有 ,即 使公比为 的等比数列.

证明:因为 是函数 的不动点,

所以

        (3。1)

又因为

                                                    (3。2)

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