公式(3。2)-公式(3。1)得   

 .

注:令 ,可求得函数 的不动点为         ,于是,

                               .

定理3。2[8]设             , 满足递推关系 , ,初值条件 

   (1)若 有两个相异的不动点 ,则         (这里     );

   (2)若 只有唯一不动点 ,则           (这里     ).

例1[8]若 , , ,求 .

解:设 ,令 ,解得 ,

于是有

 ,

故 ,即 .

例2若 ,          , ,求 .

解:方法一:考虑递推公式对应的不动点,

令         ,解得 .

于是有 

两边取倒数化简得

记          得到             .剩余同上题.

方法二:考虑到有两个不动点,则可以通过不动点得到两个式子

                      ,                   .

两式两边分别相除得 

于是得到           

解得             

                 .

注意:在本题中, 是与 相关的式子,无法直接累加累乘,但求倒数后就可以进一步进行整理,找到转化的方向.若特征根有两个,通过两式相除可以直接将 消去,得到一个等比数列.不管是哪种处理方式,寻找不动点都是一个很好的递推公式的整理方向,引导我们去一步步进行代数变形,将一个位置的问题转化成我们可以解决的问题.

3。2  求数列的极限和有界性论文网

推论3。1[8]  对数列 ,若存在常数 ,使得一切 ,有 ,则 收敛. 

推论3。2[9]  设函数 是 到 的映射, 在 连续,且 ,那么 在 存在唯一的不动点.

    证明:由 Lagrange 中值定理,有  ,

由题设, ,根据定理2,结论成立.

定理3。4[12]设 是区间 到自身的一个映射,若 且 ,有 ,若 , , ,则 必收敛,且 

满足 ,即 即映射 在区间 上的唯一不动点.

例1[10] 求证:若 在区间 上可微, 且 ⑴

任取 ,令 , ,…, ,…则           , 为方程 的根(即 为 的不动点).

证明:已知 ,设 

 ( 在 与 之间) 

由⑴ ,即 .这就证明了:一切 .

应用微分中值定理, 在 之间(从而 );

这表明 是压缩映射,所以 收敛.

因 连续,在 里取极限知 的极限为 的根.

例2[10]  设 ,令

         

 ,证明序列 收敛,并求其极限.

证明:考察函数           

 ,

易知, 是 到自身的映射.另一方面, 且 ,有

因为 ,  且 ,故         ,即 .

因此, 是D到自身的压缩映射·

从而由定理3。3可得递推数列      ,                  收敛,

其极限为方程

的解,易解得

                        .

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