摘要矩阵特征值的估计是矩阵理论的重要问题之一，内容也非常丰富。本文主要介绍了应用盖尔圆定理来估计矩阵特征值的分布范围以及隔离矩阵特征值，并通过实例判断特征值的分布范围和界限。并且归纳总结特征值的数值计算方法，其中有幂迭代法、逆幂迭代法和QR算法等，并以实例进行具体分析说明，各个算法有各自的优劣。最后，本文罗列了三种特征值的应用，有二次曲线的分类及其绘制、求n阶矩阵的高次幂、二次型正定性的判定。77756

毕业论文关键词  特征值  特征向量  盖尔圆  数值解法

毕业设计说明书外文摘要

Title    Estimation and isolation of eigenvalues     

Abstract Estimation of eigenvalues is one of the important problem of matrix theory, and the content is very rich。 This paper mainly introduces the application of gaieryuan theorem to evaluate matrix eigenvalue distribution of matrix eigenvalue and isolation, and judging by examples eigenvalue distribution scope and boundaries。 And summing the eigenvalues of numerical methods, including power iteration, inverse power method and the QR algorithm, and specific analysis by examples, each method has its own advantages and disadvantages。 Finally, this article lists the three eigenvalues of applications, classification of quadratic curve and drawing, quadratic is a qualitative judgement。

Keywords  Eigenvalues  Eigenvector  Gerschgorin circle   numerical method

目   次

1  绪论 1

1。1  矩阵特征值 2 1。2  本文的主要工作   3

2   矩阵特征值的估计与隔离 5

2。1  特征值界的估计  5

2。2  盖尔圆定理 6

2。3  特征值的隔离 10

2。4  特征值的扰动  14

3  矩阵特征值问题的数值方法16

3。1  幂迭代法与逆幂迭代法 16

3。2  QR方法 21

4   矩阵特征值的应用28

4。1  二次曲线的分类及其绘制 28

4。2  求n阶矩阵的高次幂 30

4。3  二次型类型的判定 31

结论 33

致谢 34

参考文献35

1  绪论

线性代数是应用数学的一个非常重要的分支，而矩阵理论[1]是线性代数的重要内容和基础。矩阵理论在经济管理、工程技术、项目分析以及科学决策等方面都有非常普遍的应用。而矩阵的特征值几乎贯穿矩阵理论的始终，在矩阵理论中起着特别重要的作用。怎样仅仅依赖矩阵的元素对其特征值进行估计一直以来都是矩阵分析[2]十分重要和艰难的问题。关于特征值的问题是矩阵理论的一个主要研究领域，对它的研究越来越被从事相关领域的人们所关注。因为无论是在计算数学领域，还是在其它领域，好比自然科学研究（如计算物理、计算化学、控制论以及信息论等领域）和工程设计中的很多问题(如桥梁振荡、电磁振荡、机械振荡等等)都离不开特征值问题，从而就有研究矩阵特征值的估计与隔离及其应用的必要性。

随着当代科学技术的快速发展，矩阵特征值在物理学、经济学等领域的广泛的应用，有关于矩阵特征值的性质以及估计方法的研究吸引了大部分人的关注。特征值和特征向量是有十分明确的几何意义的，矩阵乘以一个向量的结果仍然是同维数的一个向量。所以，矩阵乘法对应了一个变换，把一个向量变换成同维数的另一个向量。一个变换的特征向量有这样一种特性：它经过某种特定的变换后保持方向不变，只是改变它的长度。此外，特征值反映的是其对应特征向量在变换时长度的伸缩倍数。由于计算机的发展，各种各样的关于矩阵特征值的计算估计方法随之产生，关于矩阵特征值分布范围的估计及其算法在数学上也取得了一定的成果。