矩阵特征值的分布范围的估计及求解的理论研究是当今计算数学和科学与工程计算研究领域的重要课题，国际上研究工作十分活跃，人们从各个方面来研究矩阵的特征值。如今，由于不少学者对矩阵特征值估计的坚持不懈的研究探索，呈现出了一些全新的思想方法，比如说利用矩阵的行列式，利用矩阵的迹，或者是利用计算机算法来计算等等。在数值计算中，矩阵的特征值和特征向量问题在数值计算中是非常重要的一方面，有着十分关键的地位，人们常常应用迭代法和变换法的求解方法来对其求解。具体地说，迭代法是作一系列矩阵向量的乘积来求解矩阵的特征值和特征向量的方法；变换法则是通过直接对矩阵进行变换处理，通过变换的作用将原矩阵变换成一个极易求解特征值及其对应特征向量的新矩阵。固然计算矩阵特征值的方法有很多，但是我们对于计算高阶矩阵的特征值仍然是十分困难的，而且我们在实际应用中，有很多时候根本不需要精确的计算出矩阵的特征值，而仅仅只要给出特征值的大致分布范围即可。

MATLAB[3]是一个功能强大而且十分常用的数学软件, 它不但可以解决数学中的数值计算问题, 还可以解决符号演算问题, 并且能够方便地绘出各种各样的函数图形。MATLAB提供的各种数学工具, 既可以避免做繁琐的数学推导和计算, 又可以方便地解决所遇到的很多数学问题。 在线性代数实践中，可以用MATLAB的可视化功能赋予线性代数中的概念以几何形象，为线性代数的繁琐复杂的计算提供比较简单明了的算法和程序,文献[4]中给出了经济和工程领域中使用到的各种各样的线性代数建模的实例并说明了其解的物理含义。文献[5]保持了理论上的系统性和严密性，它的主要特点是将科学计算软件与线性代数高效的结合起来，并且通过几何图形来阐明有关低阶系统的概念；用MATLAB程序解决高阶问题；通过各种各样的实例来说明线性代数在工程中的广泛应用。

1。1  矩阵特征值

矩阵的特征值分析是矩阵分析中非常重要的内容，相关结果十分丰富，在数值代数、最优化理论、信息和信号处理以及通信等许多工程应用中都具有十分重要的作用。特征值问题是一个不但在理论上极其有意义的问题，而且在实际应用中也十分普遍。总的来说就是要满足下面这个关系式[6]：

其中 是方阵的特征值， 是其相对应的特征向量。

奇异值则是对任意矩阵来说的，也就是说它可以不是方阵，如果把矩阵 的共轭转置记作 ，那么 的奇异值就是 的特征值。矩阵的全部特征值的集合称为矩阵的谱。

在矩阵代数中，矩阵的特征值问题是矩阵最基本、最重要的特征。此外，它在物理学和工程等方面的应用也十分普遍，拥有极其重要的研究意义和研究价值。但是我们知道，对于大部分阶数较高的矩阵，想要能够计算出它们的特征值和奇异值是十分困难的，所以我们只要是能够估算出它们的范围就已经很重要了，当然如果我们估计所给出的范围越小，那么精度就会越高。 

定义1。1 设，若，，使得

则称为的特征值，为的对应特征值的特征向量。

一个特征值具有的特征向量不唯一。矩阵的行列式

称为的特征多项式，这是一个次多项式，而矩阵称为的特征矩阵。的特征多项式的根就是它的特征值。

矩阵特征值的一些性质[7]：论文网

1)任意一个阶方阵必然有个复特征值。

2)如果是的属于特征值的特征向量，那么（任意常数）也是的属于特征值的特征向量； 为的特征值； 是的特征值；若 非奇异则且 为的特征值。