3)相似矩阵有相同的特征值。

4)属于不同特征值的特征向量是线性无关的。

5) 阶矩阵所有特征值之和为矩阵的迹，即

6) 阶矩阵所有特征值之积为矩阵行列式的值，即

下面介绍简单矩阵的特征值求法[7]：设是维线性空间V上的一个线性变换，求的特征值与特征向量的方法有以下几步：

①在线性空间中取一组基 ，写出线性变换在这组基下的矩阵；

②求出的特征多项式全部的根，它们也就是线性变换的全部特征值；

③对于的每个特征值，求齐次线性方程组的一组基础解系，于是的属于的全部特征向量组成的集合是

事实上，求解矩阵特征值是极其困难的，所以我们就要来研究特征值的各种近似求法以及特征值界的估计。

1。2  本文的主要工作

本文介绍了矩阵特征值的背景、基本概念、性质和相关理论，主要根据盖尔圆定理来研究矩阵特征值的估计问题以及特征值的隔离方法，并且归纳总结矩阵特征值问题的数值解法并通过具体例子详细分析，加以论证和说明，最后列举了一些矩阵特征值的应用。

本文的结构安排如下：

第一章：绪论，主要阐述了本文的选题背景和研究意义，即研究矩阵特征值的理论价值和应用价值，其后介绍了特征值的一些基本概念性质，然后还简单介绍了一下数学软件MATLAB的实用性和重要性，最后概括了一下本文的基本内容。

第二章：研究矩阵特征值的估计与隔离，主要根据盖尔圆定理来研究特征值的估计问题，并且应用盖尔圆定理来隔离矩阵特征值以求得其具体分布范围。然后，简单介绍了矩阵特征值的扰动问题。

第三章：介绍了求解矩阵特征值的一些数值解法，主要有幂迭代法与逆幂迭代法以及QR 方法。

第四章：介绍了矩阵特征值的一些简单应用，主要有二次曲线的分类及绘制、求n阶矩阵的高次幂以及二次型类型的判定。

第五章：对全文进行总结。

2  矩阵特征值的估计与隔离

2。1  特征值界的估计

矩阵特征值的计算是十分困难的，因此我们希望能够找到简便的特征值界限或分布范围的估计方法。

定理2。1  设，为的特征值，则有   其中，

证明：设为的属于特征值的单位特征向量，即，则

将记为 ，则上式取等号的条件为，又因为，所以其它。

所以我们有。

定理2。2  设，为的特征值，则有其中，

2。2  盖尔圆定理文献综述

盖尔圆定理是用来确定矩阵特征值分布区域的最基本的定理，可以较粗略的估计出全部特征值的分布范围为（矩阵A的谱表示它的所有特征值的集合），目的是为了将复平面上的特征值都分布在一个个的圆盘上，由此来估计各个特征值所在的具体分布范围。

定理2。3[8]  设，则的特征值有，其中

为复平面上的圆盘。记，则圆盘以为中心，以为半径。

证明：记 ，设为的任意特征值，为的属于特征值的特征向量，则

不妨设（否则定理显然成立）。

由上式得：

取无穷范数有：所以

即总有某个， 成立 ，于是。

定理2。3中的圆盘也称为矩阵的第个Gershgorin圆盘（盖尔圆），显然，矩阵的个特征值都落在个圆盘的并集上。为了说明盖尔圆定理是如何确定矩阵特征值的界的，我们来看下面一个例子。

例1  估计矩阵的特征值范围。

解：矩阵的盖尔圆为：