2。1  线性函数

在线性代数里，线性函数是一个线性映射。

    定义2。1[1]  设V和W是在相同数域R上的向量空间，f是由向量空间V映射至另一个向量空间W的函数，记作。 对于V中的任意两个向量和，以及任意一个实数c，如果总是满足：

我们就称f是从V到W的线性函数，也可以称为线性算子、线性映射或线性变换。

例1  令是n维欧氏空间，设A是阶实矩阵，设由矩阵乘法计算可知：

故是由映至的线性函数。

例2  令V为所有多项式所形成的向量空间，微分算子可视为由V映至V的函数。 由微分基本性质可知:

故微分算子D是一个线性函数。

例3  令表示所有连续实函数形成的空间，设

其中 由于

故L是线性函数。

2。2  线性微分方程

简言之，线性微分方程是指微分方程中关于未知函数及其各阶导数都是一次方，否则称其为非线性微分方程。 

由微分算子D是线性函数，易知全部都是线性函数。 线性函数的线性组合还是线性函数，的线性组合与线性函数L结合成一个方程式便得到常系数线性微分方程

其中是给定的常数。

    求解微分方程等于寻找u(x)使得

这是一个非常重要的思想，由此可以逐步建立起微分方程与线性代数的关联。

3  零空间与齐次微分方程的通解

3。1  零空间

    定义3。1[2]  设f是由向量空间V映射至另一个向量空间W的线性函数，所有满足的所形成的集合构成V 里的一个子空间，这个子空间称为f 的零空间，或核，记作 N (f ) 。

注意：零空间必定包含零向量。文献综述

    例如，设A是一个矩阵。 对于矩阵A，所有满足的向量组成的集合N(A)，是一组由下列公式定义的n维向量：

    可以证明N(A)包含零向量，且对线性运算封闭。 因此N(A)是一个向量子空间，这个子空间称为矩阵A的零空间。 求矩阵A的零空间，就是求线性方程组 AX= 0 的解空间。

    矩阵A可以看做一组列向量如果这组向量是线性无关的，那么AX=0的解空间只包含一个向量：零向量；反之，如果零空间包含非零向量，说明矩阵的列向量线性相关。

3。2  齐次微分方程的通解

    考虑下面的常系数齐次微分方程：

可以用微分算子表示为：

则L是线性算子。 故求常系数齐次微分方程的通解等价于求L的零空间。

    例如，考虑下面的常系数齐次微分方程：

    令线性算子的零空间由线性独立的函数和扩张而成，和是零空间的基底函数，故齐次微分方程的通解为其线性组合

    从线性函数的角度来讲，齐次微分方程的解必定落在线性算子的零空间内，即

4  特征值与特征向量

4。1  矩阵的特征值与特征向量来~自,优^尔-论;文*网www.youerw.com +QQ752018766-

    定义4。1[1]  设A是数域P上的一个n阶矩阵，是一个未知常量，若有n维非零向量X，使得

则称为矩阵A的一个特征值，X为矩阵A的对应于特征值的一个特征向量。

称为矩阵A的特征多项式，记为，这是一个数域P上的关于的n次多项式，E是单位矩阵。

是一个n次代数方程，称为A的特征方程。

    为矩阵A的特征值当且仅当是特征方程的根。

将矩阵A的特征值代入，得到方程组，这是一个齐次方程组，称作矩阵A的关于的特征方程组。 因为，所以必存在非零解称为A的属于的特征向量。 所有的特征向量全体构成了的特征向量空间。