假设是一个平面有界图形，用一个和坐标轴平行的一组直线网分割这个图形（图1-2）。这个时候直线网的网眼——小闭矩形可分为三类：（1）上的点都是的内点，(2)上的点都是的外点，也就是，（3）上含有的边界点。

图1-2

我们将所有属于直线网的第（1）类小矩形（图1-2中阴影部分）的面积加起来，记这个和数为，则有（这里表示包含的那个矩形的面积）；把第（1）类和第（3）类小矩形的面积加起来，把这个和数记作，就有。文献综述

数集有上确界，数集有下确界，记

通常称为的内面积，为的外面积。

定义3  如果平面图形的内面积和它的外面积相等，就称是可求面积，并把它们的共同值称为的面积。

定理1。1  平面有界图形可求面积的充要条件是：总是存在直线网，对任意给出的，有

证明 （必要性）假设平面有界图形的面积为。由定义3，有，对任给的，有及的定义知道，分别存在直线网与，使得

是由和这两个直线网合并之后的直线网，可以得到

，   ，

于是由（1－3）可得

从而得到对直线网有。

（充分性存在某一个直线网，假设对任意给出的，都使（1－2）式成立。但

所以  由的任意性，因此，因而平面图形可求面积。

定理1。2  平面有界图形可以求出面积的充要条件为：的边界的面积为零。

证明  由定理1。1，可求面积的充要条件是：对任给的，存在直线网，使得。由于

所以也有。由上述可得，的边界的面积为零。来`自+优-尔^论:文,网www.youerw.com +QQ752018766-

定理1。3  如果曲线是定义在上的连续函数的图像，那么曲线的面积等于零。

定义4 在可以求出面积的闭区域上，定义一个函数。如果存在某一个正数对任意给出的正数，使得对的分割，它的细度满足，那么属于的所有积分之和都满足

这个时候就称为在上可积，数称为函数在上的二重积分，记作

 ，                     

这里是积分区域，是积分变量，是二重积分的被积函数。

从二重积分的定义可以看出，如果在区域上可积，那么就和定积分的情况一样，对任意一个分割，只要，（1－4）式都是成立的。

定理1。4 在上可积的充要条件是：

。

定理1。5 在上可积的充要条件是：对于任给的正数，存在的某个分割，使得。