然而不幸的是，尽管数学工作者花费很大力气证明不少非线性微分方程解的存 在性、唯一性等性态[5]，但因该问题所涉及面广泛、较为复杂，导致部分问题的解析 解难以求出。尽管非线性模型往往比线性模型更能反映运动过程的本质，但所遇到 的非线性模型往往更为复杂，多数情况并不能给出解的解析表达式，有时即便可以 求得，也因计算量太大而没有实际价值。

数百年来，随着非线性微分方程模型应用范围的不断扩大，人们探索非线性微 分方程解析解的愿望也越来越强烈，直到计算机数学功能的逐步完善，其迅猛发展 也为我们的研究带来了福音，求解微分方程模型的数值方法应运而生[6]。同时这也为

我们非线性问题的研究赢得了契机，于是，对于微分方程中的非线性问题，我们可 以考虑通过数值方法进行求解，大量的计算过程可以通过计算机来完成，这使得利 用近似解（数值解）代替解析解的想法成为可能。

本文主要对非线性常微分方程问题进行讨论，运用数值方法，通过迭代的手段 来得到方程收敛的数值解，以此来取代问题的精确解，其中所涉及数值解法的计算 步骤运用 Matlab 编写程序来加以实现。

1。2 非线性常微分方程初值问题描述

在自然科学和社会科学领域中，常会遇到非线性常微分方程初值问题

其中 g(x, y) 是已知二元函数， y0 是给定的初值。在介绍数值方法之前，一个很 自然的问题是初值问题（1-1）在什么条件下解存在且唯一。我们用下面的定理来回

答该问题，我们令 f (x, y) g(x, y) ，则：

y

定理 1。1  设函数 f (x, y) 在区域 {(x, y) | x [a, b], y (,)}连续，并且关于

y 满足 Lipschitz 条件，即存在常数 L ，使得对任意 x [a, b] 和 y1 ， y2 ，均有：

| f (x, y1 ) f (x, y2 ) |L | y1 y2 |， 则初值问题（1-1）存在唯一的解 y y(x) ，且 y(x) 是连续可微的[7]。 1。3 数值求解的基本思想

下面简单说明下建立数值方法的基本思想。非线性常微分方程的初值问题（1-1）文献综述

实际上是一个连续性的问题，即初值问题的解 y(x) 是区间[0,1] 上连续变量 x 的函数， 而计算该连续问题的数值解就是在区间[0,1] 上的有限个离散点 x1 ,。。。, xN 处计算函数

y(x) 的近似值 yi  y(xi ), (i 1,2,。。。, N ) 。

自变量的离散值 x1 , x2 ,。。。, xN 是事先取定的，称为节点，节点通常取成等距的，称 为等距节点，即

x1 x0  x2 x1  。。。 xN  xN 1  h ，

其中 h 0 称为步长，可以改变它的大小。而 y1 ,。。。, yN 通常称为初值问题的一个数值 解[11]。

建立数值方法的第一步，就是把连续性问题（1-1）转化为在给定的 n+1 个点上 的近似差分方程的初值问题，这个过程被称为离散化，常用的离散化方法有：直接 用差商代替微商法、Taylor 级数展开法、数值积分法等。

1。4 本文数值方法的分类

本文所研究非线性常微分方程初值问题的数值解法可分为两大类：

1）单步法：这类方法在计算 yn1 时，只用到前一步的值 yn ，例如 Euler 法和

Runge-Kutta 法。

2）多步法：所谓多步法就是在计算 yn1 时，要用到其前 k 步的值 yn , yn1 ,。。。, ynk 1 ， 也称 k 步法，该算法的代表就是阿达姆斯（Adams）方法[8]。

第二章 几种常用的数值解法

1 单步法

本节通过几类简单的单步法的讨论，来说明非线性常微分方程数值方法中的一 些基本概念与主要研究的问题。首先，让我们先从数值解法中最简单的一个方法—