1。 1微积分证明组合恒等式

1。1。1导数的应用

在组合数学中,我们常常遇到类似这样的问题,

通过观察我们会发现,上面的这三个恒等式市存在一定的相同点的,这三个等式的左侧都可以总结为这种形式,这里面,取自然数。我们通常对这种类型的组合恒等式,做法为以二项式定理为母体,再对二项式两端每一项求幂函数的导数,最后对比较特殊的点进行取值,即得结果,一般采用下面的步骤来进行计算。文献综述

因为,所以两边同时乘以,把他变形,再把这个式子两边进行求导得到

               ,            (1)

记为在对（1）的两边同时乘x再求导数得到

,

于是有           

                 ,                   （2）

记为在对（2）的两边同时乘x再求导数得到

；

…………

一般来说,记做,i=1,2 ……,,依此循环得

,

所以我们得到,证明过程中求导数的次数由决定．我们可以令x=1,则得恒等式,现举例说明。

例1证明组合恒等……。 

证明  显然等式的左边可写成,与进行对比,则=1,=2,现将二项式定理两边同时乘以再求导数,变形为

,

两边再同乘以x后求导数得

, 

令x=1,得

。

注1  在这个证明的结果中,若x取不同的值,则可推出多种不同的组合数恒等式,例如,取,或得

    通过以上的例题,利用求导数来证明组合数恒等式,可以使我们的思路更加清晰,并且方法大多固定,容易掌握,这样就使那些看起来比较难的组合恒等式得到证明。 

1。 2用概率证明组合恒等式来:自[优E尔L论W文W网www.youerw.com +QQ752018766-

在大学的数学教学体系当中,《概率论与数理统计》是一门比较重要的数学课程。 利用概率统计的计算方法解决的问题也比较多．下面介绍的就是用概率对组合恒等式进行证明,它可以简化对组合恒等式的证明过程。

首先,来看这样的一道题目： 

某工厂现生产了一批产品,一共有100件,我们在生产的产品中随机抽取了50件产品来进行检验,若全部合格则认为检验通过( 已知次品率为 5%) ,求出这批产品通过检验的概率是多少．

解析  对于离散型随机变量的题目,通常用二项分布的方法来进行解决： 

                         ,                     （3）

这是最简单的方法．另外,还有一种解法： 

我们设事件A = { 这100件产品中的所有次品的情况} ,事件B = { 产品全部合格} 。下面把事件A分为：