通过查询和阅读相关资料文献，再进一步分析和理解目前已有的理论结果，概括了一些具有特殊性质的线性微分方程，这些方程他们的系数之间存在一定的关系，证明后得方程的通解也存在规律，因此，根据通解规律可以直接得出通解；接下来我重点阐述了用变量代换法，化为一阶方程或者化为Euler方程。利用常数变易法，已知特解来分别求解齐次和非齐次方程。最后，介绍两类特殊的可化为常系数的方程。结合自己的理解进行整理总结，给出求方程通解的较为简便有效的方法。

     求解二阶变系数线性微分方程:           (1)

其中是关于的连续函数。要求解此类微分方程给出以下定理。

1。几类特殊二阶微分方程的求解

1。1若方程系数满足的情况

    定理1[5] 如果方程(1)中，则方程(1)的通解为

。

    例1 求解方程的通解。

    解  由题可得，，

即有                     ，

满足由定理1，可直接得出方程的通解为

,

化简后得。

1。2若方程系数满足的情况

    定理2[5] 如果，则方程(1)的通解为

。

    例2  求方程的通解。

    解  由题可知，，满足，所以由定理2可以直接得出   

       ，

化简后得                   

。

1。3若方程系数满足的情况

    定理3[5]  若, 是关于的连续函数，且有，则方程(1)的通解为

。

证明  在中，令，代入中得，再令，则有又有，因为，所以有，

上式为伯努利方程，求得通解为，所以有为方程(1)的通解。

    例3  求方程的通解(其中为任意常数)。文献综述

    解  ，，有

即满足定理条件，则代入公式,

可得，则原方程的通解为。

2。通过变量代换求方程的通解

2。1通过变量代换化为可降阶的方程   

    定理4[1] 微分方程如果存在一个常数使得，则方程(1)的通解为

。

    例4  求方程 的通解。

    解  将上述方程转化为  ，

经观察上式可得  令，即有，

代入上式可得

，

由定理1可得，原方程的通解为

。

    在上一小结中，我们重点介绍了当的情形，若不具一般性，即为的函数，则当方程(1)有以下的结论

假设存在可微的函数，使得，并且满足

，

通过降阶法求得方程(1)的一般通解。

    定理5[9]  若存在可微函数，使得，并且满足

那么当为实值函数时，则方程(1)的通解为

 其中，，均为常数；当为复值函数时，方程(1)的通解为 ， 为式所给，而表示与互为共轭的复值函数。

    证明 由题意可知方程(1)可转化为 

并令，。    并令，则方程(1)转化为可求解的方程，则此一阶微分方程的通解为

也即 进一步求解线性微分方程得

    这里的，可以是实值函数也可以是复值函数，当为复值函数时，的共轭也满足并将代换成即可得到复式解 

    推论1[9]  当，恒为常数时，即 ，则变系数化为常系数，则方程的通解为