通过查询和阅读相关资料文献,再进一步分析和理解目前已有的理论结果,概括了一些具有特殊性质的线性微分方程,这些方程他们的系数之间存在一定的关系,证明后得方程的通解也存在规律,因此,根据通解规律可以直接得出通解;接下来我重点阐述了用变量代换法,化为一阶方程或者化为Euler方程。利用常数变易法,已知特解来分别求解齐次和非齐次方程。最后,介绍两类特殊的可化为常系数的方程。结合自己的理解进行整理总结,给出求方程通解的较为简便有效的方法。

     求解二阶变系数线性微分方程:           (1)

其中是关于的连续函数。要求解此类微分方程给出以下定理。

1。几类特殊二阶微分方程的求解

1。1若方程系数满足的情况

    定理1[5] 如果方程(1)中,则方程(1)的通解为

    例1 求解方程的通解。

    解  由题可得,,

即有                     ,

满足由定理1,可直接得出方程的通解为

,

化简后得。

1。2若方程系数满足的情况

    定理2[5] 如果,则方程(1)的通解为

    例2  求方程的通解。

    解  由题可知,,满足,所以由定理2可以直接得出   

       ,

化简后得                   

1。3若方程系数满足的情况

    定理3[5]  若, 是关于的连续函数,且有,则方程(1)的通解为

证明  在中,令,代入中得,再令,则有又有,因为,所以有,

上式为伯努利方程,求得通解为,所以有为方程(1)的通解。

    例3  求方程的通解(其中为任意常数)。文献综述

    解  ,,有

即满足定理条件,则代入公式,

可得,则原方程的通解为。

2。通过变量代换求方程的通解

2。1通过变量代换化为可降阶的方程   

    定理4[1] 微分方程如果存在一个常数使得,则方程(1)的通解为

    例4  求方程 的通解。

    解  将上述方程转化为  ,

经观察上式可得  令,即有,

代入上式可得

由定理1可得,原方程的通解为

    在上一小结中,我们重点介绍了当的情形,若不具一般性,即为的函数,则当方程(1)有以下的结论

假设存在可微的函数,使得,并且满足

通过降阶法求得方程(1)的一般通解。

    定理5[9]  若存在可微函数,使得,并且满足

那么当为实值函数时,则方程(1)的通解为

 其中,,均为常数;当为复值函数时,方程(1)的通解为 , 为式所给,而表示与互为共轭的复值函数。

    证明 由题意可知方程(1)可转化为 

并令,。    并令,则方程(1)转化为可求解的方程,则此一阶微分方程的通解为

也即 进一步求解线性微分方程得

    这里的,可以是实值函数也可以是复值函数,当为复值函数时,的共轭也满足并将代换成即可得到复式解 

    推论1[9]  当,恒为常数时,即 ,则变系数化为常系数,则方程的通解为   

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