级数求和的方法灵活,技巧性也较强。除某些级数外,大部分级数要求出它们的部分和都不是特别容易。因此,如果我们想要研究级数求和的方法,应该先区分数项级数和函数项级数,了解幂级数、傅里叶级数等函数级数性质,考虑其级数的收敛性。然后通过一些常用方法把一般级数化为简单易求的级数,从而求得级数的和。

在我学习数学的过程中,我认识到级数具有重要的意义。所以我在本文中先对数项级数求和的方法进行讨论,然后讨论函数项级数求和的常用方法,或者也可以通过一些方法将数项级数转换为函数项级数来求和。这些基本方法分别是定义法、幂级数法、微分方程法、泰勒展开式法、傅里叶级数法等。因此,通过对这些常用方法的学习与掌握,在我们以后的学习过程中,可以将这些其应用到更广泛的学科和领域中去。 

1。数项级数求和的常用方法

1。1 根据收敛定义求数项级数的和

定义1[2]  给定一个数列,对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式

                                        （1）

称为数项级数（也常简称级数）,其中称为数项级数（1）的通项或一般项。

数项级数（1）的前项之和,记为

称它为数项级数（1）的第个部分和,也简称部分和。

定义2[2]  若数项级数的部分和数列收敛于S（即）,则

数项级数收敛,称S为数项级数的和,记作论文网

      或 。

若是发散数列,则称数项级数发散。 

这种方法适用于级数前n项部分和很容易算出的级数,下面介绍的直接求和、拆项消去、错位相减这三类方法都是紧跟收敛定义而分的[1]。

1。1。1直接求和法

根据常用的等差等比公式可直接求出前n项和,从而求得级数的和,直接求和法相对而言很容易掌握,下面就通过例题来分析直接求和法。

例1  求等比级数的和。

解  级数的第n个部分和

所以级数和为。

1。1。2拆项消去法

拆项消去在级数中它是将级数的一般项分解成部分可求分式的形式,化复杂为简单,进而求出级数的和,这种方法技巧较强,拆项消去的一般形式:

===。例2  求数项级数的和。

解  数项级数=

因此级数收敛,且该级数的和为。

例3  求级数。

解  原式=,

所以级数的前n项和

故该级数的和为。

1。1。3错位相减法

这是一种常用的数列求和方法,常用于等比数列与等差数列相乘的形式,形如(其中为等差数列,为等比数列)。我们可列出数列的和,再把所有式子同时乘以等比数列的公比,即,然后相错一位,两式相减即可[3] 。

错位相减法是很容易用到的一种方法,掌握了其思想便很容易求出级数的和。

例4  求级数的和。

1。2 利用幂级数理论求级数的和

定理(逐项求导与逐项求积)[4]  设幂级数在收敛区间（-R,R）上的和函数f,若x为（-R,R）上任意一点,则

（i) f在点x可导,且;文献综述

(ii) f在0与x之间的这个区间上可积,且。

构造幂函数的思想[5]：若级数收敛,则,从数项级数构造成幂级数是比较容易的,且幂级数的和函数可以通过逐项积分微分得到,从而易得的和。 

幂级数理论求级数的和是解决级数求和最基本也是最常用的方法,利用这种方法求数项级数的和是根据函数项级数求和来得到解决的,所以需要构造幂函数。下面根据幂级数理论,将它分为幂级数赋值法和直接构造函数法。